Extremwertaufgabe

07.03.2007, 11:35

Supi

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Extremwertaufgabe

Erst einmal ein hallo an die Mathegenies here Wink

Wink

Folgende Frage bereitet mir Probleme: "Einer Halbkugel mit gegebenem Radius r wird ein Kreiskegel umbeschrieben. Bestimme den halben Oeffnungswinkel x des Kegels so, dass das Volumen minimal wird"

Falls jemand Zeit haette dies etwas ausfuehrlich zu erklaeren, waere das grossartig - mir fehlt jeder gedankliche Ansatz im Moment unglücklich

unglücklich

Danke schonmal im Voraus! Prost

Prost

07.03.2007, 12:22

mercany

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Fangen wir mal an: Was soll minimiert werden?

edit: Öffnungswinkel meint den Winkel, zwischen der Achse (Gerade, die durch die Spitze und den Mittelpunkt läuft) und der Erzeugenden (Mantellinie, also die Verbindungsstrecke der Randpunkte zur Spitze).

Gruß, mercany

07.03.2007, 13:26

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe
Wie immer hilft eine Skizze.

Überlege als erstes, warum die Dreiecke AMC und AMD ähnlich sind. Daraus folgt dann, daß die Winkel MCA und AMD gleich sind. Bezeichne diesen Winkel mit x. Im Dreieck AMC findest du eine Beziehung für sin(x) und im Dreieck AMD eine Beziehung für cos(x). Stelle diese Formeln nach Höhe h des Kegels sowie nach Radius r des Regels um und setze das in die Volumenformel für den Kegel ein.

07.03.2007, 16:53

Supi

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Danke klarsoweit Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Skizze ist wirklich hilfreich.

Ich habe fuer die Strecke AM die Bezeichnung "s" eingefuehrt. Demnach:

$\begin{eqnarray*} \cos(x)=\frac{r}{s} => r = \cos(x) * s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{r}{h} => h = \frac{r}{\sin(x)} => h = \frac {\cos(x) * s}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$

Nun setze ich das in die Formel ein:

$\begin{eqnarray*} V=\frac {r^2*\pi*h}{3} => V=\frac{\cos(x)^2*s^2*\pi*\cos(x)*s}{3*\sin(x)} => V=\frac{s^3\pi*\cos(x)^3}{3\sin(x)} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich die unbekannte s in der Gleichung - kann ich die durch Umformen der 1. Gleichung ersetzen? Also [latex]s=\frac{r}{cos(x)}

Habe ich diese Formel, kann ich diese als Funktion nehmen, ableiten und die Nullstellen der Ableitung bestimmen.

07.03.2007, 18:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von Supi
Ich habe fuer die Strecke AM die Bezeichnung "s" eingefuehrt.

Eigentlich ist das der Radius r des Kegels. s wird beim Kegel typischerweise für die Mantellinie verwendet. Ohnehin gibt eine eine Verwirrung bezüglich der Variablen r. Ist r bei dir der Radius des Kegels oder der Radius der Halbkugel?

In meiner Skizze soll R der Radius der Halbkugel sein.

08.03.2007, 05:10

Supi

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ohnehin gibt eine eine Verwirrung bezüglich der Variablen r. Ist r bei dir der Radius des Kegels oder der Radius der Halbkugel?

Die Skizze stimmt, der gegebene Radius "r" ist der Radius der Halbkugel.

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08.03.2007, 08:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von Supi
$\begin{eqnarray*} V=\frac {r^2*\pi*h}{3} \end{eqnarray*}$

Dann stimmt aber diese Formel nicht, denn da ist r (= Strecke AM) der Radius des Kegels. Es wäre schön, wenn wir uns darauf einigen könnten, daß R der Radius der Halbkugel und r der Radius des Kegels ist.

08.03.2007, 10:27

Supi

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Von deiner Skizze:
BM = r = gegeben
AM = R = unbekannt

Formel demnach:

$\begin{eqnarray*} V=\frac{R^3*\pi*h}{3} \end{eqnarray*}$

ja? smile

smile

08.03.2007, 10:42

Supi

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Ich sollte mich wohl registrieren, damit ich meine Beitraege editieren kann. So koennen wir R ja aus dem Dreieck ja so umformen, dass wir R mit x und r beschreiben koennen:

$\begin{eqnarray*} \cos{x}=\frac{r}{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R=\frac{r}{\cos{x}} \end{eqnarray*}$

Sehe ich das richtig? Von da an sollte die Aufgabe dann loesbar sein! Prost

Prost

08.03.2007, 11:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Supi
Von deiner Skizze:
BM = r = gegeben
AM = R = unbekannt

Das war in meiner Skizze mißverständlich. Da sollte eigentlich R der Radius der Halbkugel sein. (Es steht ja auch nicht an der Strecke AM dran.) Aber von mir aus können wir uns auch auf das einigen. Dann ist

$\begin{eqnarray*} V=\frac{R^2*\pi*h}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(x) = \frac r R \end{eqnarray*}$ ok.

Jetzt noch die Formel für sin(x) aufstellen.

EDIT: Fehler in der Volumenformel korrigiert (R² statt R³)

08.03.2007, 11:24

Supi

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$\begin{eqnarray*} \sin{x}=\frac{r}{h} => h = \frac{r}{\sin{x}} \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die Gleichung fuer das Volumen:

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\frac{r^2}{cos^2{x}}*\pi*\frac{r}{\sin{x}}}{3} => V = \frac{\pi r^3}{3\sin{x}\cos^2{x}} \end{eqnarray*}$

Das wird dann zur Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\pi r^3}{3\sin{x}\cos^2{x}} \end{eqnarray*}$

und die muss ich ableiten um das Minimum zu bestimmen?

08.03.2007, 11:38

klarsoweit

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Genau!

Freude

08.03.2007, 11:44

Supi

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Spitze, danke fuer deine Hilfe Gott

Gott

08.03.2007, 12:55

Supi

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Sorry, ich muss mich doch noch ein letztes Mal melden. Ich erhalte ein anderes Resultat als mit meinem Grafikrechner unglücklich

unglücklich

Fuer die Ableitung habe ich erhalten: (g & h fuer die Produkteregel der Ableitung)

$\begin{eqnarray*} g=\pi r^3 => g'=0\\<br /> h=3\sin{x}\cos^2{x} => h' = 3\cos{x}-9\sin^2{x}*\cos{x} \end{eqnarray*}$

folglich:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-\pi r^3(3\cos{x}-9\sin^2{x}\cos{x}}{(3\cos{x}-9\sin^2{x}\cos{x})^2} \end{eqnarray*}$

Zaehler gleich 0:

$\begin{eqnarray*} -\pi r^3(3\cos{x}-9\sin^2{x}\cos{x})=0\\<br /> 3\cos{x}(1-3\sin^2{x})=0\\<br /> 3sin^2{x}=1\\<br /> \sin{x}=\frac{1}{9}\\<br /> x=0.1113 \end{eqnarray*}$

(das "< br\ >" gibt es, wenn ich eine neue Zeile mit \\ mache - ist nicht Teil der Rechnung Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Der Rechner kommt jedoch auf x=0.6155 - also minimal bei $\begin{eqnarray*} x = 35,27^\circ \end{eqnarray*}$
Hat sich wohl irgendwo ein Fehler eingeschlichen... siehst Du den vielleicht gerade? Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.03.2007, 13:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Supi
$\begin{eqnarray*} h=3\sin{x}\cos^2{x} => h' = 3\cos{x}-9\sin^2{x}*\cos{x} \end{eqnarray*}$

Da stimmen die Ableitungen hinten und vorne nicht. Zudem ist mir nicht klar, wie du die Quotientenregel angewendet hast.

08.03.2007, 13:44

Supi

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Habe den Weg fuer die Ableitung als Bild angehaengt, ist etwas lange fuer Latex.

Die Quotientenregel ist doch: $\begin{eqnarray*} \frac{h*g'-g*h'}{(h')^2} \end{eqnarray*}$

wobei h * g' Null ist.

08.03.2007, 13:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Supi
Die Quotientenregel ist doch: $\begin{eqnarray*} \frac{h*g'-g*h'}{(h')^2} \end{eqnarray*}$

Leider falsch. So muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{h*g'-g*h'}{(h)^2} \end{eqnarray*}$

Da es um die Nullstellen geht, macht der falsche Nenner jedoch nichts aus.

Die Rechnung auf dem Zettel stimmt. Ich hatte bei h' nur geschaut, wie man mit der Produktregel hinkommt und da konnte ich keinen Zusammenhang entdecken. Hammer

Hammer

Dann ist die weitere Rechnung richtig bis einschließlich
$\begin{eqnarray*} 3 \cdot sin^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Ab da wird es falsch.

08.03.2007, 14:47

Supi

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Das war ja ein ganz miserabler Fehler - peinlich, peinlich LOL Hammer

LOL Hammer

$\begin{eqnarray*} \sin^2{x}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Danke dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

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