Mindestens ein von zwei Mustern finden

18.09.2023, 19:49

hellohelpneeeeeeded

Mindestens ein von zwei Mustern finden

Meine Frage:
mich würde interessieren:

Wie wahrscheinlich ist es, das mindestens eines der beiden Muster, in einer fairen Sequenz von 21 geworfenen Münzen, erkennbar oder sichtbar wird.

ZZZ oder KKK. Zahl oder Kopf 3 mal.

Meine Ideen:
also: ich erhalte das ergebnis (die Sequenz) von 21 münzwürfen!, und prüfe ob "ZZZ" oder "KKK" dort drinnen waren.(ZB ZKZKKK.... wäre ein auftreten, in dem fall bereits an den stellen 4-6)
Eines von beiden entdeckt reicht schon.

Ich habe zumindest rausfinden können, das der Erwartungswert bei 7 liegen soll, das eines der beiden gesuchten 3er Sequenzen vorkommt.

Ich habe jetzt 1 h Stunde lang versucht das Problem mit ChatGpt zu lösen und einen Python Code dafür zu bekommen, allerdings erhalte ich dort komische Resultate die abweichen. (Von einem bereits bestehenden Code) u ich komme echt nicht dahinter wie hoch diese Wahrscheinlichkeit ist oder wie ich da weiter komme.

Hilfe ist echt benötigt bei der Frage (; . Und wäre sehr nett

Also Grundsätzlich:

Zu wie viel Prozent wird mindestens 1 Muster der beiden gesuchten in 21 Würfen ersichtlich.

Dazu ergibt sich dann ja die Schlussfolgerung, wie oft keines der zwei Muster gesichtet wurde.

Bitte um Hilfe Anregungen Webseiten die soetwas durchführen lassen oder ähnliches oder eine kurze knappe antwort mit dem gesuchten P und 1 - P . unglücklich

18.09.2023, 20:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von hellohelpneeeeeeded
Ich habe zumindest rausfinden können, das der Erwartungswert bei 7 liegen soll, das eines der beiden gesuchten 3er Sequenzen vorkommt.

So formuliert ist das Unsinn. unglücklich

Erwartungswerte bildet man von Zufallgrößen - welche Zufallsgröße meinst du hier? (EDIT: Womöglich meinst du den Erwartungswert des Zeitpunktes (!!!) $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , wo erstmalig KKK oder ZZZ beobachtet wurde, d.h. KKK oder ZZZ an den drei Positionen $\begin{eqnarray*} X-2,X-1,X \end{eqnarray*}$ . Leider hilft die Berechnung dieses Erwartungswertes recht wenig bei der Bestimmung des hier gesuchten $\begin{eqnarray*} P(X\leq 21) \end{eqnarray*}$ .)

In der Aufgabenstellung geht es um eine Wahrscheinlichkeit, und zwar die des beschriebenen Ereignisses, Folge ZZZ oder KKK zu beobachten. Diese Fragestellung ist hier schon das eine oder andere Mal im Forum besprochen worden.

Zitat:

Original von hellohelpneeeeeeded
Ich habe jetzt 1 h Stunde lang versucht das Problem mit ChatGpt zu lösen

Vielleicht mal mit eigenem Denken probieren?

Sei $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, von Wurf 1 bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mindestens einmal Sequenz KKK oder ZZZ zu beobachten. Gegenwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} q_n=1-p_n \end{eqnarray*}$ ist dann die Wahrscheinlichkeit, von Wurf 1 bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ weder KKK noch ZZZ zu beobachten.

Dann ist $\begin{eqnarray*} p_n-p_{n-1} = q_{n-1}-q_n \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Erstbeobachtung einer dieser beiden Sequenzen erstmals zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ geschieht: Das geht im Fall $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ nur dann, wenn die Endsequenz ZKKK oder KZZZ ist UND bis einschließlich Position $\begin{eqnarray*} n-3 \end{eqnarray*}$ noch nicht Sequenz KKK oder ZZZ beobachtet wurde. Daher ist

$\begin{eqnarray*} q_{n-1} - q_n = q_{n-3}\cdot \frac{1}{2^3} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} q_n = q_{n-1} - \frac{1}{8}q_{n-3} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ .

Start ist $\begin{eqnarray*} q_1=q_2=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_3=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ . Interessanterweise ergibt sich dadurch die explizite Darstellung $\begin{eqnarray*} q_n = \frac{F_{n+1}}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ , wobei mit $\begin{eqnarray*} \left(F_n\right) \end{eqnarray*}$ die Fibonacci-Folge gemeint ist.

Ganz egal ob nun rekursiv oder mit dieser expliziten Formel, es ergibt sich $\begin{eqnarray*} q_{21}= \frac{17711}{2^{20}}\approx 0.01689 \end{eqnarray*}$ . Der eigentlich gesuchte Wert ist dann $\begin{eqnarray*} p_{21}=1-q_{21} \end{eqnarray*}$ .

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