Veröffentlichung von Euler's Kriterium (Legendre-Symbol)

19.09.2023, 16:28	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Veröffentlichung von Euler's Kriterium (Legendre-Symbol) Hallo Leute, ich suche gerade die Originalarbeit von Euler, in der er das Euler'sche Kriterium für die Berechnung des Legendre-Symbols veröffentlichte. Leider bin ich absolut nicht fündig geworden. Auch die Bücher die ich gewälzt habe, haben das nicht referenziert. Oder habe ich das nur übersehen?
23.09.2023, 17:31	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nochmal in einem Buch das ich gelesen habe, wird diese Veröffentlichung von Euler genannt. Ich habe mir das ganze angeschaut. Mit Theorem 11 auf Seite 12 kann ich ja etwas folgern. Hier ist $\begin{eqnarray} 2m+1 = p \end{eqnarray}$ für Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Die Aussage ist ja, dass $\begin{eqnarray} a^m-1 \end{eqnarray}$ teilbar ist durch $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} a^m\equiv 1^\pmod p \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} a = f^2\pm p\cdot\alpha \end{eqnarray}$ folgt dann zumindest der Fall $\begin{eqnarray} \big(\frac{a}{p}\big) = 1 \end{eqnarray}$ . Aber für mich geht der Fall >> $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ << aus dem Paper nicht hervor, also ich habe ihn nicht entdecken können. Kann mir jemand helfen?
23.09.2023, 17:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wikipeia sagt es kommt aus den beiden Werken: https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/134 https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/262 Wobei du nur erstere genannt hast. Im zweiten (262) findet sich in Korollar 6.1 das was du meinen könntest mit ">>-1<<"
23.09.2023, 17:45	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke IfindU, aber was meinst du mit Korr. 6.1? Theorem 6, Korr. 1?
23.09.2023, 18:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab die zweite Englische Version genommen. Das ist wohl teilweise "extended" worden...aber, das meinte ich. Damit wissen wir dass $\begin{eqnarray} a^{(p-1)/2} \end{eqnarray}$ nur die Werte $\begin{eqnarray} \pm 1 \end{eqnarray}$ besitzt. Wenn $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein quadratischer Rest ist, dann ist der Wert $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ modulo p besitzen kann. Ich vermute mal, dass es der kleinste Exponent ist, der $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ hinterlassen kann. Euler argumentiert immer wieder mit dem Auftreten von Resten. Der Beweis von Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_criterion#Proof) argumentiert ebenso damit. Ich vermute man kann es nur implizit zusammen basteln. Es kann auch sein, dass es Euler zugeschrieben wird, weil er die "schwierige" Richtung bewiesen hat.
23.09.2023, 18:35	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann werde ich das mal durcharbeiten und schauen, ob es das ist. Danke sehr! Ich möchte das ganze halt in einer Arbeit referenzieren, deshalb bin ich dabei so spitzfinden.
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