Lambertfunktion reell oder komplex

20.09.2023, 12:29	Haus im Dorf	Auf diesen Beitrag antworten »
Lambertfunktion reell oder komplex Ich habe eine Funktion f(x)=a+icW(ibce^iac); und wüsste gern, ob das Ergebnis reell oder komplex ist.W ist die Lambertfunktion.a,b,c sind alle reell.
20.09.2023, 21:05	SC/MP	Auf diesen Beitrag antworten »
Abends um 23 Uhr allein zu Haus Spitzfingrigkeiten Grundlage Führt man auf zwei Zahlen mit unterschiedlichen oder gleichen Eigenschaften eine mathematische Operation aus, dann ist das Ergebnis der Zahlenmenge zuzuordnen, die keine der Eigenschaften der Zahlen im Ergebnis verliert. Tatsächlich können Zahlen mit weniger definierten Eigenschaften, auf die mathematisch aufeinander nach gewählter Operation einwirken, Ergebnisse bilden die mehr Eigenschaften haben können, als die ursprünglichen Zahlen selbst. Darauf baut das induktiv erzeugte Gebäude der mathematischen Zusammenhänge auf. Abstrakte Konkretisierung durch Aufzählen Es existieren komplexe Zahlen, die mit Hilfe reeller Zahlen konstruiert wurden. Es existiert die Lambertfunktion. Es existieren spezielle berechnete Werte der Lambertfunktion. Es existieren unter den berechneten Werten der Lambertfunktion komplexe Zahlen. Schlußfolgerung Die richtige Aussage zu dem vorgegebenen Problem lautet: Das Ergebnis ist mindestens komplex, kann aber auch andere, erweiterte Eigenschaften haben. Das ist völlig unabhängig davon, ob der imaginäre Anteil "Null" ist oder nicht. Genauer Die Antwort auf ihr gestelltes Problem ist zwar im mathematischen Sinn unentscheidbar, aber im praktischen Sinn beherrschbar. Nachträglich editiert: Gegenfrage: Wenn ein Problem praktisch beherrschbar ist, ist es auch mathematisch entscheidbar?
21.09.2023, 08:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Morgens um 10 Uhr bei klarem Verstand Gemeint ist wohl $\begin{eqnarray} f(a,b,c) = a+ic\cdot W\left(ibc\cdot e^{iac}\right) \end{eqnarray}$ . Der Funktionswert ist natürlich immer komplex, in dem Sinne ist die Antwort auf die "oder"-Frage: Ja. Wenn man wissen will, ob er zudem auch reell ist, dann gibt es folgende Fälle: 1) $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ : Ja, $\begin{eqnarray} f(a,0,c)=f(a,b,0)=a \end{eqnarray}$ ist stets reell. 2) $\begin{eqnarray} b\neq 0,c\neq 0 \end{eqnarray}$ : Hier muss gelten $\begin{eqnarray} W\left(ibc\cdot e^{iac}\right) = it \end{eqnarray}$ mit einer reellen Zahl $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , das bedeutet notwendig $\begin{eqnarray} ibc\cdot e^{iac} = it\cdot e^{it} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} bc\cdot e^{iac} = t\cdot e^{it}\qquad \left(\right) \end{eqnarray}$ Betragsbildung ergibt $\begin{eqnarray} \|t\|=\|bc\| \end{eqnarray}$ . Jetzt muss man nur noch die beiden Fälle $\begin{eqnarray} t=bc \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} t=-bc \end{eqnarray}$ ausprobieren, ob in diesem Fall () erfüllt ist. Näher beleuchtet heißt das 2.1) Im Fall $\begin{eqnarray} t=bc \end{eqnarray}$ muss es dann eine ganze Zahl $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ geben mit $\begin{eqnarray} ac-t = (a-b)c \stackrel{!}{=} 2m\pi \end{eqnarray}$ . D.h., man überprüft $\begin{eqnarray} \frac{(a-b)c}{2\pi} \end{eqnarray}$ auf Ganzzahligkeit. 2.2) Im Fall $\begin{eqnarray} t=-bc \end{eqnarray}$ muss es dann eine ganze Zahl $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ geben mit $\begin{eqnarray} ac-t = (a+b)c \stackrel{!}{=} (2m+1)\pi \end{eqnarray}$ . D.h., man überprüft $\begin{eqnarray} \frac{(a+b)c}{2\pi}-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ auf Ganzzahligkeit. Ein Problem gibt es noch: Sieht man $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ nur als den Hauptzweig der komplexen LambertW-Funktion an (auch als $\begin{eqnarray} W_0 \end{eqnarray}$ bezeichnet), dann gilt das für die obigen Betrachtungen essentielle $\begin{eqnarray} W\left(it\cdot e^{it}\right) \stackrel{?}{=} it \end{eqnarray}$ leider nur für $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . D.h., diese Bedingung muss dann zusätzlich in 2.1) bzw. 2.2) aufgenommen werden - oder man ändert die Aufgabenstellung ist der Weise, dass man nur fordert, dass es eine ganze Zahl $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} f_k(a,b,c) = a+ic\cdot W_k\left(ibc\cdot e^{iac}\right) \end{eqnarray}$ reell ist.

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