Bestimmen von Nullstellen

22.09.2023, 20:21

Samsara

Bestimmen von Nullstellen

Sie nennt sich hier logistische Gleichung. Für jeden Zeitpunkt t bezeichne p(t) eine Menge von Fischen in einem Teich, die durch Einsetzen aus einer Anfangsmenge $\begin{eqnarray*} p_{0} \end{eqnarray*}$ zum Zeitpunkt t = 0 herangewachsen ist, und e > 0 bezeichne eine konstanteEntnahmerate(z.B. 100 kg Fisch pro Monat). Unter der Annahme, dass p eine differenzierbare Funktion ist, efülle sie nach einem einfachen Wachstumsmodell die Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} p^{'}=ap- \epsilon p^{2} - e \end{eqnarray*}$

und die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} p/0) = p_{0} \end{eqnarray*}$ . Dagegen sind a und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ positive Konstanten, und normalerweise ist $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ klein gegen a. Mit der Funktion $\begin{eqnarray*} f(p) = ap - \epsilon p^{2} - e \end{eqnarray*}$ kann man $\begin{eqnarray*} p^{'} = ap - \epsilon p^{2} - e \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} p^{'} = f(p) \end{eqnarray*}$ notieren.

Wir bestimmen zunächst die Nullstellen von f. Man nennt sie kritische Punkte der Differentialgleichung. Die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} f(p) =ap- \epsilon p^{2}-e=0 \end{eqnarray*}$ hat die Lösungen $\begin{eqnarray*} p= \frac{a}{2 \epsilon}+- \frac{1}{2 \epsilon} \sqrt (a{2}-4 \epsilon e ) \end{eqnarray*}$ . Es geht zwar noch weiter aber ich habe hier komplet vergessen, wie man hier genau die Nullstellen berechnet. Es müsste ja die pq Formel sein, aber ich weiß nicht mehr, wie ich die anwenden muss. Da für mich DGL vollkommen neu sind, habe ich alles etwas ausführlicher beschrieben.

22.09.2023, 20:53

Steffen Bühler

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RE: Bestimmen von Nullstellen
$\begin{eqnarray*} ap- \epsilon p^{2}-e=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac a{- \epsilon} \cdot p +p^{2}-\frac e { -\epsilon} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p^2 \color{red}- \frac a{ \epsilon}\color{black} \cdot p \color{green}+\frac e { \epsilon}\color{black} =0 \end{eqnarray*}$

Jetzt?

Viele Grüße
Steffen

23.09.2023, 21:20

Samsara

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RE: Bestimmen von Nullstellen
Ganz klar komme ich damit noch nicht, wenn ich jetzt umforme, dann sieht das bei mir aktuell so aus $\begin{eqnarray*} ap - \epsilon p^{2} - e = 0 = P_{1,2} - \frac{a}{ \epsilon}+- \sqrt ( \frac{a}{ \epsilon})^{2}...? \end{eqnarray*}$ weiter bin ich zumindest bis jetzt noch nicht gekommen. Und so ganz stimmig ist das wohl nicht.

23.09.2023, 22:24

nichteuerernst

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RE: Bestimmen von Nullstellen
Ja, das ist wirklich nicht richtig. Was bei dir in der Lösungsformel mit $\begin{eqnarray*} -\frac{a}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ beginnt, müsste in Wiklichkeit mit $\begin{eqnarray*} +\frac{a}{2\epsilon} \end{eqnarray*}$ beginnen.

24.09.2023, 09:33

Samsara

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RE: Bestimmen von Nullstellen
Da es mitunter bei der Fernuni Hagen so ein bisschen eine Glückssache ist, eine Antwort zu bekommen, die einen Vorgang gut erklärt. Hier bei den DGL habe ich jetzt festgestellt, dass hier nicht wenige ihre Kentnisse lediglich auffrischen wollen. Und deshalb fahre ich hier Mehrgleisig. Ich habe jetzt dort für diese quadratische Gleichung, die zunächst nichts direkt mit einer DGL zu tun hat folgende Lösungsschritte bekommen, die ich aber immer noch nicht ganz nachvollziehen kann. Vermutlich habe ich hier einiges vergessen, kann es mir bis jetzt aber noch nicht in die Erinnerung zurück holen.

$\begin{eqnarray*} ap- \epsilon p^{2}-e=0 \iff ap- \epsilon p^{2}=e \iff p^{2}- \frac{a}{ \epsilon}p= - \frac{e}{ \epsilon} \iff \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p^{2}- \frac{a}{ \epsilon}p+ \big( \frac{a}{2 \epsilon} \big)^{2}= - \frac{e}{ \epsilon}+ \big( \frac{a}{2 \epsilon} \big)^{2} \iff \end{eqnarray*}$ woher kommen jetzt die $\begin{eqnarray*} 2 \epsilon \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \big(p- \frac{a}{2 \epsilon} \big)^{2}=- \frac{e}{ \epsilon}+ \big( \frac{a}{2 \epsilon} \big)^{2} = \frac{{a}^{2}}{{4 \epsilon}^{2}}- \frac{e4 \epsilon}{ \epsilon 4e} \iff \end{eqnarray*}$ warum wird jetzt hier die zweite binomische Formel benutz? $\begin{eqnarray*} p- \frac{a}{2 \epsilon}=+- \frac{1}{2 \epsilon} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt (a^{2}-4 \epsilon e) \iff \end{eqnarray*}$ , und wie kommt es zu der 1 im Zähler bei dem Bruch vor der Wurzel.

24.09.2023, 09:34

Samsara

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RE: Bestimmen von Nullstellen
Ich glaube, dass letzte $\begin{eqnarray*} \iff \end{eqnarray*}$ hat sich wohl erledigt.

24.09.2023, 10:58

Steffen Bühler

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RE: Bestimmen von Nullstellen
Siehe Quadratische Ergänzung.

Finde ich persönlich etwas umständlich, die pq-Formel ist hier griffiger. Einfach stur einsetzen, dabei an nichteuerernstens Hinweis denken.

24.09.2023, 11:45

IfindU

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RE: Bestimmen von Nullstellen
Vlt eine Anmerkung: Dass die gesuchte Variable $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ heißt, könnte irritieren wenn man die pq-Formel anwenden möchte. Der Buchstabe $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ hat dann eine unglückliche Doppelbelegung.

24.09.2023, 12:20

Samsara

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RE: Bestimmen von Nullstellen
Danke für die Antwort. Mittlerweile habe ich Gott sei Dank auch mal von einem Mitstudenten der Fernuni Hagen das Stichwort quadratische Ergänzung bekommen. Ich hatte relativ schnell die Idee, dass es sich hier um die pq Formel oder eine quadratische Ergänzung handeln könnte. Ist glaube ich nicht dasselbe. Die quadratische Ergänzung konnte ich mal fast im Schlaf anwenden. Das ist aber mittlerweile mehr als 35 Jahre her und ich bin zwichenzeitlich fast 70. Das einfach so aufzufrischen ist eben nich so einfach. Jetzt habe ich im Internet, wo es ja sehr viele Youtube Kanäle für Mathematik gibt, ein paar Sachen gefunden und gehe mal davon aus, hoffe ich jedenfalls, dass ich diese doch sehr nützlichen Formeln bald wieder fast im Schlaf anwenden kann.

24.09.2023, 18:02

mYthos

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Wie schon gesagt, ist es (im heutigen Zeitalter) tatsächlich umständlich, die Lösungen mittels quadratischer Ergänzung zu bestimmen.
Diese wird nur zur einmaligen Herleitung der Lösungsformel herangezogen!
Auch die pq - Formel gestaltet sich zumeist als umständlich, denn für diese muss die Gleichung zunächst erst durch Division normiert werden.

Angenehmer und straight forward (nur noch mit Einsetzen) geht die abc-Formel, die ein Derivat der pq - Formel ist:

$\begin{eqnarray*} ax^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck unter der Wurzel wird als Diskriminante bezeichnet.

$\begin{eqnarray*} \epsilon p^2 - ap + e = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4e\epsilon}}{2\epsilon} \end{eqnarray*}$

Und gut ist es.

Edit: Dieser Beitrag war fehlerhaft und wurde dementsprechend berichtigt!

mY+

24.09.2023, 19:11

Bürgi

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Guten Abend,

@mYthos:

Dir ist leider ein Tippfehler unterlaufen. Die Lösungen müssten heißen

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray*}$ hat die Lösungen

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \end{eqnarray*}$

was sich noch ein kleines bisschen vereinfachen lässt.

24.09.2023, 20:41

mYthos

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Danke Bürgi.
Teufel

auch, ist so einfach, das dürfte daher nicht passieren!

mY+

25.09.2023, 19:36

Samsara

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RE: Bestimmen von Nullstellen
Jetzt bin ich doch noch zum Schluß in Stocken geraten. Ich habe mich jetzt zwar der quadratischen Ergänzung erinnert und habe versucht, diese quadratische Gleichung auch so zu lösen, ist mir offenbar zum Schluß noch nicht ganz gelungen:

$\begin{eqnarray*} ap- \epsilon p^{2}-e=0 \iff ap- \epsilon p^{2}=e \iff p^{2}- \frac{a}{ \epsilon}p=- \frac{e}{ \epsilon} \iff p^{2}- \frac{a}{ \epsilon}p+ \big( \frac{a}{2 \epsilon} \big)^{2} - \big( \frac{a}{2 \epsilon} \big)^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \iff \big(p- \frac{a}{2 \epsilon} \big)^{2} \iff p- \frac{a}{2 \epsilon} = p = \frac{a}{2 \epsilon} +- \frac{1}{2 \epsilon} \sqrt \frac{a}{2 \epsilon} \end{eqnarray*}$ . ich habe dass jetzt nach meiner Erinnerung und nach dem, was ich in einem youtube Kanal gesehen habe, gemacht. Beim Schluss, sowoihl bei dem was bei mir vor und unter der Wurzel steht, gibt es jetzt allerdings zu dem, was im Kurstext steht Unterschiede. Im Kurstext lautet es wie folgt : $\begin{eqnarray*} p= \frac{a}{2 \epsilon} +- \frac{1}{2 \epsilon} \sqrt (a^{2}-4 \epsilon e) \end{eqnarray*}$ . Mit dieser Abfolge komme ich noch nicht klar.

25.09.2023, 20:44

Steffen Bühler

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RE: Bestimmen von Nullstellen

Zitat:

Original von Samsara
$\begin{eqnarray*} p^{2}- \frac{a}{ \epsilon}p=- \frac{e}{ \epsilon} \iff p^{2}- \frac{a}{ \epsilon}p+ \bigg( \frac{a}{2 \epsilon} \bigg)^{2} - \bigg( \frac{a}{2 \epsilon} \bigg)^{2} \end{eqnarray*}$

Siehst Du, was da fehlt? Richtig, es muss heißen:

$\begin{eqnarray*} p^{2}- \frac{a}{ \epsilon}p+ \bigg( \frac{a}{2 \epsilon} \bigg)^{2} - \bigg( \frac{a}{2 \epsilon} \bigg)^{2} =- \frac{e}{ \epsilon} \end{eqnarray*}$

Und dann:

$\begin{eqnarray*} \Bigg( p^{2}- \frac{a}{ \epsilon}p+ \bigg( \frac{a}{2 \epsilon} \bigg)^{2} \Bigg) - \bigg( \frac{a}{2 \epsilon} \bigg)^{2} =- \frac{e}{ \epsilon} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigg( p- \frac{a}{2 \epsilon} \bigg)^2 = \bigg( \frac{a}{2 \epsilon} \bigg)^{2}- \frac{e}{ \epsilon} \end{eqnarray*}$

Und nun die Wurzel ziehen.

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