Polynomringe: endliche Folgen von Ringwerten?

27.09.2023, 14:29

regxy

Polynomringe: endliche Folgen von Ringwerten?

Ich habe noch ein Verständnisproblem zur Schreibweise von Polynomen mit "großem X":

Hier heißt es in https://mathepedia.de/Polynomringe.html

Zitat:

Es besteht ein formaler Unterschied zwischen (1) und (2). In (1) sind die x Variablen, die Werte annehmen können. In (2) handelt es sich bei den X um endliche Folgen von Ringwerten. Die Form (1) kann aber für jeden Polynomring durch den Einsetzungshomomorphismus erreicht werden.

Ich verstehe die X quasi als n-Tupel von Einheits-Vektoren, die man mit den Vektoren aus Koeffizienten multipliziert, und die dann nach bestimmten Regeln aufsummiert werden, ähnlich wie bei diversen Vektor-Produkten.
Und dieses Produkt SUM(ai*Xi) würde ich jetzt intuitiv eher als neuen Vektor in einem n-dim VR betrachten, eben als Skalarprodukt aus Koeefizienten und Einheitsvektoren.

- Warum spricht man hier aber von endlichen FOLGEN von RINGWERTEN? (wieso Ring und wieso Werten?)

- Und ist die vermutete Ähnlichkeit so eines Polynoms mit einem Vektor zufällig? Oder ist es tatsächlich ein quasi-Vektor, nur eben nicht aus einem Vektorraum, da es keine Inversen per Multiplikation gibt?

- Und was macht der genannte Einsetzungshomomorphismus genau?
Ersetzt er nur den Einheitsvektor X mit einer Variablen x?
Was genau passiert hier beim Einsetzen, und wie wird aus dem i-ten ai*1 (aus (0,0,0,0,0,...1,0.0.0) jetzt ein ai*x^i (hier wäre jetzt eine Hochstellfunktion praktisch)?

- oder ganz dumm gefragt:
was macht einen Polynomring verschieden von Polynomen?

(mal gucken, wie oft ich jetzt wieder Tippfehler nacheditieren muss...)

(PS,
ich fühle mich hier in "Hochschulmathematik" etwas fehl-plaziert, denn ich rechne eher nur auf Schul-Niveau...)

27.09.2023, 16:06

Elvis

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Bei mathepedia ist alles sehr schön und richtig erklärt. Ein Polynomring ist ein Ring $\begin{eqnarray*} R[X] \end{eqnarray*}$ mit Koeffizienten aus einem Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X=(0,1,0,0,0,...) \end{eqnarray*}$ . Seine Elemente sind Polynome $\begin{eqnarray*} (a_0,...,a_n,0,0,0,...)= \sum_{k=0}^n a_k X^k \end{eqnarray*}$ .

- Du musst $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht als n-Tupel von Einheitsvektoren verstehen, denn das ist falsch.
- Wieso ist ein Polynom eine endliche Folgen von Ringwerten ? Weil die Folge $\begin{eqnarray*} (a_0,...,a_n,0,0,0,...)= \sum_{k=0}^n a_k X^k \end{eqnarray*}$ abgesehen von der $\begin{eqnarray*} 0 \in R \end{eqnarray*}$ endlich viele Ringelemente $\begin{eqnarray*} a_k\in R \end{eqnarray*}$ enthält.
- In einem Vektorraum gibt es keine inversen Elemente bezüglich der Multiplikation. Ein Vektorraum kennt Addition und Skalarmultiplikation mit Skalaren aus einem Körper. Ein Ring kennt Addition und Multiplikation. Es ist nicht nötig Polynomringe mit Vektorräumen zu verwechseln, sie sind im allgemeinen keine Vektorräume sondern Moduln.
- Der Einsetzungshomomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi_x:R[X]\to R, (a_0,...,a_n,0,0,0,...)= \sum_{k=0}^n a_k X^k \mapsto \sum_{k=0}^n a_k x^k<br /> \end{eqnarray*}$ setzt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und erzeugt so aus einem Polynom ein Ringelement.

Das ist Hochschulmathematik, man lernt so etwas nach der Einführung in die lineare Algebra in der Algebra.

27.09.2023, 16:16

regxy

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hmm, hiervon habe ich leider gar nichts verstanden, was meine Fragen betrifft.
Bei deinen Posts muss ich immer an Karl Kraus denken:
Das Niveau ist hoch, aber leider ist niemand drauf.

27.09.2023, 19:50

Elvis

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Ich dachte, ich hätte alle deine Irrtümer angesprochen und alle deine Fragen beantwortet in der Reihenfolge, wie du sie gestellt hast. Ich habe genau aufgeschrieben, was ein Polynom in X ist, und dass man es gleichzeitig versteht als endliche Folge von Ringelementen und als endliche Summe von Potenzen von X. Der Einsetzungshomomorphismus ersetzt X durch ein Ringelement x, womit man die endliche Summe als Ringelement berechnet. Das ist alles, einfache Definition und einfache Abbildung. Ein Vektor oder Vektorraum hat nichts damit zu tun. Welche Frage darf ich noch beantworten?

28.09.2023, 07:54

Elvis

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Vielleicht interessiert dich ein Beispiel. Sehr schön an einem Polynomring R[X] ist, dass er ein Ring ist, deswegen heißt er auch so. Also kann man den Polynomring $\begin{eqnarray*} R[X_1,...,X_r]=(R[X_1]...[X _{r-1}])[X_r] \end{eqnarray*}$ bauen, der für die algebraische Geometrie gebraucht wird und Polynomring in r Unbestimmten genannt wird.

28.09.2023, 08:28

regxy

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sagen wir so:
Ich bin kein Mathestudent, sondern nur zufällig beim Lesen über Körper auf Ringe gestoßen, und dann auf Polynomringe.
Die Schreibweisen, die du in deinen Formeln verwendest sind für mich von der Schreibweise zwar nicht unleserlich, allerdings sehr wohl ist ihr sinngehalt unverständlich, so als würde man aus einer Fremdsprache einen Haufen Wörter wild zusammenwürfeln.
Mir fehlen hier einfache laieneverständliche Erklärungen

Nach meinem Wissenstand sind Polynome Funktionen, z.B. in Q oder R, die der Form genügen:
für x,y, ai aus R, i aus Z:

y=f(x)= SUM(aix^i) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + .... + anx^n
(jedes Glied aus einem Koeefizienten und einer x-Potenz mit anwachsenden Exponenten

Jetzt kommt hier aber plötzlich ein X ins Spiel, was zumindest für mich aussieht wie ein n-Tupel und mich zumindest erinnert an eine Einheitsbasis eines Vektorraums, wo nämlich alle Tupel-Elemente 0 sind außer dem i-ten, und das ist dann 1, und egal ob das jetzt hier ein vektor ist oder nicht: es sieht für mich so aus.
Xi = (0,..., 0, 1, 0....0)

hiermit wird nun ebenfalls eine Summe erzeugt, und zwar

SUM(aiXi) = a0X0 + a1X1 + a2X2 + a3X3³ + .... + anXn,

was aber für mich zunächst nicht wie ein Polynom aussieht, denn es hat ja keine x- oder X-Potenzen als Elemente.

Was ist nun das eine (mit den x-Potenzen) im Gegensatz zum anderen (mit der "Folge" aus Nullen und Einsen als Tupel)?

Und was bildet hier nun mit Addition + (die aussieht wie eine Vektoraddition) und einer Multiplikation * (Faltung) einen Ring (R,+,*)? Meine Polynome, wie ich sie aus der Schule kenne, oder das Konstrukt mit dem X aus 0en und 1en, und wenn ja, warum nicht und wie viele?

28.09.2023, 08:46

Elvis

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Polynomfunktionen in der Schule sind nützlich und lehrreich. Polynome sind keine Funktionen sondern das, was du gelesen hast und worüber ich gesprochen habe. Sie werden an der Hochschule in der Algebra und in vielen Bereichen der Mathematik gebraucht. Vektoren haben zunächst nichts damit zu tun. Ohne die Begriffe sauber zu trennen kann man nichts verstehen. Auch Addition und Multiplikation für Polynome werden auf mathepedia erklärt. Ich weiß nicht wie man das noch einfacher erklären kann. Man kann es nur verstehen, wenn man sein Schulwissen erst einmal vergisst, sonst wird alles verwirrend. (Euler hat dem König gesagt, dass Mathematik nichts für Laien ist. Augenzwinkern

)

28.09.2023, 08:54

regxy

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Das Niveau ist hoch, aber wieder ist keiner drauf.
Probier's mal mit Pädagogik- und Fachdidaktik-Seminaren, solange Elvis noch nicht tot ist ,)

28.09.2023, 09:00

Elvis

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Nicht ich mache das Niveau zu hoch sondern du, weil du darauf besteht, komplizierte Begriffe wie Funktion, Vektor und Faltung mit dem simplen Begriff Polynom in Verbindung zu bringen. Mache es dir nicht unnötig schwer, sonst erkennst du niemals, wie einfach Mathematik ist.

28.09.2023, 09:06

regxy

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ok, lassen wir 2 es einfach künftig miteinander, wir sprechen verschiedene Sprachen - vielleicht können es andere Mathematiker hier, die mehr schulmathematisch-didaktische Kompetenzen haben.

28.09.2023, 09:26

HAL 9000

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Ich finde es immer wieder interessant, wie einige Leute hier ziemlich herrisch auftreten a la "Mir gefällt euer Mathematiker-Gequatsche nicht - stellt euch gefälligst auf mein Begriffs-Universum ein. Ansonsten halte ich euch für Didaktik-Nieten und ihr könnt mir gestohlen bleiben."

Letzteres wird nach solchen Begegnungen dann auch immer mehr passieren.

28.09.2023, 09:31

regxy

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nun, wenn man sich paarweise nicht verständigen kann, muss man es lassen, aber das muss ja nicht zwangsweise für alle paarweisen Konstellationen gelten.
Das ist eher realistisch, ggf. auch resignierend, aber nicht herrisch.

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