Polynom und Lösungen

28.09.2023, 09:08

Studi28092023

Polynom und Lösungen

Hallo,

Warum hat das Polynom $\begin{eqnarray*} x^{p-1} \end{eqnarray*}$ für eine Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nach Fermats kleinem Satz $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ inkongruente Lösungen?

Dass es die Lösungen $\begin{eqnarray*} 1,2,...,p-1 \end{eqnarray*}$ haben muss geht ja aus der Bedingung in Fermats kleinem Satz hervor, es muss ja gelten, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist, damit $\begin{eqnarray*} a^{p-1} - 1 \equiv 0 \text{ mod } p \end{eqnarray*}$ gilt.

Aber woher weiß man denn, dass die Lösungen inkongruent sind?

Danke!

28.09.2023, 09:19

HAL 9000

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Ein Polynom an sich hat keine "Lösungen". Womöglich sprichst du von der Polynomgleichung $\begin{eqnarray*} x^{p-1}-1\equiv 0\bmod p \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Zitat:

Original von Studi28092023
Aber woher weiß man denn, dass die Lösungen inkongruent sind?

Du fragst, wieso zwei beliebige Zahlen $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq i < j\leq p-1 \end{eqnarray*}$ inkongruent modulo $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sind? Du weißt aber schon, was Kongruenz modulo irgendwas bedeutet?

28.09.2023, 09:35

Studi28092023

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Ja, ich meine die Polynomgleichung $\begin{eqnarray*} x^{p-1}-1\equiv 0\bmod p \end{eqnarray*}$ und mit deinen Bemerkungen ist jetzt auch alles eindeutig und klar.

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