Vereinfachung Summenformel

28.09.2023, 08:45

Kognitivist

Vereinfachung Summenformel

Meine Frage:
Aus Handbook of Mathematical Psychology, I, p. 313:

Eine Summenformel für eine Wahrscheinlichkeit q < 1 ist zu vereinfachen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=j}^{\infty } pq^{k} = q^{j} \end{eqnarray*}$

Dabei sind p und q einander ausschließende Wahrscheinlichkeiten und < 1, und es gilt p = 1-q bzw. q = 1-p

Meine Ideen:
Die sog. geometrische Summenformel ist mir bekannt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } q^{k} = \frac{1 - q^{\infty } }{1-q} = \frac{1}{1-q} // da: q < 1 \end{eqnarray*}$

Ich neige dazu, die Summenformel in zwei Teile zu teilen, und zwar:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=j}^{\infty } p q^{k} = p ( \sum\limits_{k=0}^{j} q^{j} + \sum\limits_{k=j}^{\infty } q^{j}) \end{eqnarray*}$

aber das bringt mich nicht wirklich weiter und dem Ziel, alles auf
$\begin{eqnarray*} q^{j} \end{eqnarray*}$ zu vereinfachen, kaum näher.

Auch q mit (1-p) zu vertauschen habe ich versucht
$\begin{eqnarray*} p(\sum\limits_{k=j}^{\infty } (1-p)^{k} \end{eqnarray*}$ , was zwar elegant
aussieht aber mich auch nicht dem Ziel näherbringt.

28.09.2023, 11:19

Helferlein

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Der letzte Ansatz ist gut, nur leider falsch umgesetzt. Es empfiehlt sich p=1-q zu ersetzen, da es nur linear in die Summe eingeht.
Dann folge die Idee mit dem Aufteilen der Summe.

28.09.2023, 11:55

Kognitivist

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Summenformel vereinfachen
Ich versuch's mal, danke.

$\begin{eqnarray*} (1-q) \sum\limits_{k=j}^{j} q^{j} + (1-q) \sum\limits_{k=j}^{\infty } q^{j} \end{eqnarray*}$

Und nu?

Wo kann ich wie weiter vereinfachen?

28.09.2023, 13:07

Helferlein

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Nein, das ist nicht wirklich zieführend.
Es ging mir mehr um $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=j}^{\infty } pq^{k} = \sum\limits_{k=j}^{\infty } (1-q)q^{k} \end{eqnarray*}$

Wenn Du das nun in zwei Summen darstellst (Wieso das geht, müsste noch begründet werden), dann sieht man schnell, dass sich die beiden Summen sehr ähneln.

28.09.2023, 15:34

Kognitivist

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Also danke, ich hab's geschnallt.

Ich multiplizier mal aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=j}^{\infty } (1-q) q^{j} = (1-q)q^{j} + (1-q) q^{j+1} + (1-q) q^{j+2} +....(1-q) q^{\infty } = q^{j} - q^{j+1} + q^{j+1} - q^{j+2} + q^{j+2} - q^{j+3} + q^{j+3} ... -q^{\infty } + q^{\infty } = q^{j} \end{eqnarray*}$

Alle Terme heben sich auf bis auf den ersten, $\begin{eqnarray*} q^{j} \end{eqnarray*}$ , der bleibt und der Lösung entspricht.

Hätte ich ohne Deine Hilfe nicht geschafft, danke.

29.09.2023, 15:03

klauss

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RE: Vereinfachung Summenformel
Wegen

Zitat:

Original von Kognitivist
Die sog. geometrische Summenformel ist mir bekannt.

wäre doch eigentlich dann für

Zitat:

Original von Kognitivist
Ich neige dazu, die Summenformel in zwei Teile zu teilen

gleich die Form
$\begin{eqnarray*} p\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty} q^{k} - \sum\limits_{k=0}^{j-1} q^{k}\right) \end{eqnarray*}$
am bequemsten gewesen?

29.09.2023, 19:23

Leopold

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Viele Wege führen nach Rom.

$\begin{align*} \sum_{k=j}^{\infty} pq^k \ = \ pq^j \sum_{k=j}^{\infty} q^{k-j} \ = \ pq^j \sum_{k=0}^{\infty} q^k \ = \ pq^j \cdot \frac{1}{1-q} \ = \ pq^j \cdot \frac{1}{p} \ = \ q^j \end{align*}$

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