Eigenwerte orthogonale Matrix

29.09.2023, 15:32	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte orthogonale Matrix Hi Leute Ich habe eine Frage zu den Eigenwerten einer orthogonalen Matrix. Betragsmäßig sollten sie ja alle gleich 1 sein. Was aber ist an folgendem "Beweis" falsch? Ich erkenne meinen Fehler nicht... Sei $\begin{eqnarray} M\in\text{GL}(n,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ orthogonal, also $\begin{eqnarray} M^\top = M^{-1} \end{eqnarray}$ . Für Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda\neq0 \end{eqnarray}$ und Eigenvektor $\begin{eqnarray} x\neq0 \end{eqnarray}$ wissen wir: $\begin{eqnarray} Mx=\lambda x \end{eqnarray}$ Die transponierte Matrix hat die gleichen Eigenwerte, also $\begin{eqnarray} M^\top x=\lambda x \end{eqnarray}$ Die Inverse Matrix $\begin{eqnarray} M^{-1} \end{eqnarray}$ hat die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$ Zusammen ergibt das: $\begin{eqnarray} \lambda x = Mx = M^\top x = M^{-1}x = \frac{1}{\lambda}x \end{eqnarray}$ , woraus folgen würde, dass $\begin{eqnarray} \lambda=\pm1 \end{eqnarray}$ sein muss. Aber das stimmt ja nicht, denn im Fall von $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ sind beide Eigenwerte (im Allgemeinen) komplex.
29.09.2023, 15:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte orthogonale Matrix Du nimmst an die Matrix ist symmetrisch bei $\begin{eqnarray} Mx = M^Tx \end{eqnarray}$ und symmetrische Matrizen haben nur reelle Eigenwerte. Daher folgerst du es. $\begin{eqnarray} M, M^T \end{eqnarray}$ haben die gleichen Eigenwerte heißt nicht zwingend sie haben die gleichen Eigenvektoren. Besser ist es mit $\begin{eqnarray} \langle x, M x\rangle \end{eqnarray}$ zu arbeiten und daraus dann zu folgern dass $\begin{eqnarray} \|\lambda\|^2 =1 \end{eqnarray}$ .
29.09.2023, 16:11	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte orthogonale Matrix Ah ich verstehe! Vielen lieben Dank, ich dachte schon ich werd verrückt haha. Besser ist dann mit der Längen- und Winkeltreue bei der Abbildung durch orthogonalen Matrizen zu arbeiten, meinst du? Also dann so hier? $\begin{eqnarray} \langle x,x\rangle = \langle Mx,Mx\rangle = \langle \lambda x,\lambda x\rangle = \lambda^2 \langle x,x\rangle \Longrightarrow \|\lambda\|=1 \end{eqnarray}$
29.09.2023, 16:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte orthogonale Matrix So kannst du es fast machen. Du musst das komplexe Skalarprodukt nehmen: https://de.wikipedia.org/wiki/Standardsk...rdskalarprodukt Ansonsten hast du bei im dritten Term potentiell echt-komplexe Ausdrücke, während das Skalarprodukt nur für reellwertige Argumente definiert ist. Das führt dann dazu, dass beim $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ als Skalare vor das Skalarprodukt ziehen, eines davon komplex-konjugiert wird. Und $\begin{eqnarray} \lambda \overline \lambda = \|\lambda\|^2 \end{eqnarray}$ .
29.09.2023, 17:32	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte orthogonale Matrix Vielen Dank für deine Erklärungen, ich habs mal wieder verstanden!!
29.09.2023, 18:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte orthogonale Matrix Schön, dass du es verstanden hast. Eine Ergänzung, welche mir eine Weile Bauchschmerzen gemacht hat: In der Regel wird auch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht-reell sein. Sogar zwingend wenn $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ nicht-reell ist. Ansonsten bedeutet die Gleichung $\begin{eqnarray} Mx = \lambda x \end{eqnarray}$ das folgende: Ist $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ reell, ist die linke Seite reell. Und damit ist rechts $\begin{eqnarray} x= 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist auch reell. D.h. mit $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ reell, muss mit $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ nicht-reell auch jeder Eigenvektor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht-reell sein.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »