Wahrscheinlichkeit Paare

30.09.2023, 23:19

Student30092023

Wahrscheinlichkeit Paare

In einem Raum befinden sich 10 Paare, es werden nun zufällig 9 Personen von den 20 ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Paare dabei sind.

Meine Idee $\begin{eqnarray*} \binom{20}{9} \end{eqnarray*}$ für eine zufällige Ziehung der 9 Personen aus den 20 und $\begin{eqnarray*} \binom{10}{3} \end{eqnarray*}$ für eine Ziehung von 3 Paaren aus den 10. $\begin{eqnarray*} P(drei \, Paare) = \frac{\binom{10}{3}}{\binom{20}{9}} \end{eqnarray*}$ Ist das richtig?

01.10.2023, 00:59

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeit Paare
Nehmen wir an, es sollten 3 bestimmte Paare ausgewählt werden. Das hieße im Zähler Auswahl von $\begin{eqnarray*} \binom{2}{2}\binom{2}{2}\binom{2}{2} \end{eqnarray*}$ .
Bei 3 beliebigen Paaren gibt es dafür $\begin{eqnarray*} \binom{10}{3} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.
Das ist zahlenmäßig gleich Deinem Teil-Ergebnis, aber nun sieht man besser, dass erst 6 Personen ausgewählt wurden.
Es fehlt also noch die Auswahl von 3 weiteren, nicht zusammengehörenden Personen aus den restlichen 7 Paaren.

01.10.2023, 12:25

Student30092023

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RE: Wahrscheinlichkeit Paare
Du schlägst also bei 3 beliebigen Paaren folgendes vor:

$\begin{eqnarray*} P(drei \, beliebige \, Paare) = \frac{\binom{10}{3} \binom{14}{3}}{\binom{20}{9}} \end{eqnarray*}$

wobei jetzt $\begin{eqnarray*} \binom{14}{3} \end{eqnarray*}$ die Ziehung von 3 weiteren Personen aus den 14 verbleibenden berücksichtig. Geht das?

01.10.2023, 12:43

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeit Paare
Das reicht nicht. Für die restlichen 3 Personen muß aus 3 verschiedenen Paaren je eine gezogen werden.
Wieder angenommen die 3 Personen sollen aus 3 bestimmten Paaren stammen, dann gibt es dafür $\begin{eqnarray*} \binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.
Für die Auswahl 3 beliebiger Paare gibt es jetzt $\begin{eqnarray*} \binom{7}{3} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

01.10.2023, 12:49

Student30092023

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RE: Wahrscheinlichkeit Paare
Da komme ich gerade nicht mit. Wenn ich doch jetzt $\begin{eqnarray*} \binom{7}{3} \end{eqnarray*}$ ansetzen würde, dann hätte ich doch 3 weitere beliebige Paare gezogen und dann mehr als 9 Personen.

01.10.2023, 13:06

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeit Paare
Nein, Du ziehst ja nicht 3 Paare, sondern je 1 Person aus 3 verschiedenen von 7 restlichen Paaren.
Man kann es ruhig ausführlicher hinschreiben: Angenommen, wir haben die Paare
A - B - C - D - E - F - G - H - I - J
Wir bestimmen zunächst die 3 Paare, die komplett ausgewählt werden sollen, z. B.
A - B - C
Dann werden noch 3 Personen aus
D - E - F - G - H - I - J
benötigt, aber ohne Paarbildung. Also z. B. je 1 aus
D - E - F
oder
E - F - G
oder
H - I - J
usw.

Dein $\begin{eqnarray*} \binom{14}{3} \end{eqnarray*}$ würde eine freie Auswahl aus den restlichen 7 Paaren bedeuten, aber das ist eben nicht erlaubt, sofern insgesamt nur genau 3 Paare gezogen werden dürfen.

01.10.2023, 14:28

Student30092023

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RE: Wahrscheinlichkeit Paare
Jetzt versteht ich genau was du gemeint hast! Danke!

01.10.2023, 15:10

HAL 9000

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Übrigens: Selbst wenn man das "3 Paare dabei" im Sinne "mindestens 3 Paare dabei" interpretieren würde, wäre die Rechnung von Student30092023 12:25 falsch.

Denn jede Auswahl mit genau vier Paaren würde dann leider mehrfach gezählt - und zwar genau viermal statt einmal, wie es richtigerweise sein sollte.

02.10.2023, 09:26

Leopold

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Ich komme für das betrachtete Ereignis auf eine Wahrscheinlichkeit von $\begin{align*} \frac{840}{4199} \approx \frac{840}{4200} = \frac{1}{5} \end{align*}$ .

02.10.2023, 18:26

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeit Paare
Jetzt noch interessant für Zahlentheoretiker: Bestimmung der Periodenlänge ohne Abzählen und ohne elektronische Hilfsmittel.

[attach]57301[/attach]

02.10.2023, 19:28

Leopold

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Das minimale $\begin{align*} n \end{align*}$ mit $\begin{align*} 4199 \mid 10^n-1 \end{align*}$ ist $\begin{align*} n = 144 \end{align*}$ .

02.10.2023, 19:56

HAL 9000

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Naja, da beteilige ich mich auch an der immer weiteren Themenabschweifung:

Aus $\begin{eqnarray*} 4199 = 13\cdot 17\cdot 19 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \lambda(n) = \operatorname{ggT}(12,16,18) = 144 \end{eqnarray*}$ und damit gilt $\begin{eqnarray*} 4199\mid \left(a^{144}-1\right) \end{eqnarray*}$ nicht nur für $\begin{eqnarray*} a=10 \end{eqnarray*}$ , sondern sogar für alle zu 4199 teilerfremden ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ - Carmichael lässt grüßen.

02.10.2023, 20:16

klauss

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Bestens. Dafür hat sich die Abschweifung schon gelohnt.

02.10.2023, 20:47

Leopold

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Das mit dem ggT ist wohl nur ein Verschreiber. Ich habe $\begin{align*} \operatorname{kgV}(6,16,18) = 144 \end{align*}$ gerechnet, da bereits $\begin{align*} 13 \mid 10^6-1 \end{align*}$ gilt.

03.10.2023, 20:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Das mit dem ggT ist wohl nur ein Verschreiber.

Gut erkannt. Augenzwinkern

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Wahrscheinlichkeit Paare

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