Untermodul frei |
| 01.10.2023, 10:15 | Modulus4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Untermodul frei Sei R ein Hauptidealring und M ein R-Modul und N ein in M enthaltener Untermodul. Gilt dann: M frei => N frei? Meine Ideen: Einen Beweis konnte ich nicht vollständig erbringen. Zumindest aber gilt schon einmal, dass (bei uns bedeutet frei auch endlich erzeugt), dass N auch endlich erzeugt ist. Außerdem habe ich ein Gegenbeispiel für die Aussage gefunden falls R kein HIR ist. |
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| 01.10.2023, 10:29 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sorry. Ich weiß es auch nicht. |
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| 01.10.2023, 10:34 | Modulus4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
R=Z/4Z M=Z/4Z N=2Z/4Z |
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| 01.10.2023, 10:54 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Gegenbeispiel verstehe ich nicht. Ist R kein Hauptidealring? Ist M frei? |
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| 01.10.2023, 11:10 | Modulus4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das war mein Gegenbeispiel falls R kein HIR ist. Für R=Z/4Z ist R als R Modul natürlich frei |
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| 01.10.2023, 11:26 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Welches Ideal von R ist kein Hauptideal? Sorry, wenn ich dumm frage, ich blicke (heute?) einfach nicht durch. |
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| 01.10.2023, 11:31 | Modulus4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Ideale sind zwar alle von einem Element erzeugt, jedoch ist es für einen Hauptidealring zwingend erforderlich, dass es keine Nullteiler gibt. |
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| 01.10.2023, 11:37 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke. Langsam komm ich wieder rein. Warum ist N nicht frei? |
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| 01.10.2023, 11:56 | Modulus4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
In N könnte jaj nur die Restklasse von 2 Basis sein. Aber 2*2=4=0 und damit ist 2 linear abhängig |
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| 01.10.2023, 12:53 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt, danke, das erinnert an van der Waerden, Algebra II, § 85 Moduln über euklidische Ringe. Elementarteiler Der Beweis geht über die Basislänge n des Moduls und benutzt ein Hauptideal; so geht er wie für euklidische auch für Hauptidealringe durch, denn er nutzt nur aus, dass ein Hauptideal die ganze Arbeit macht. Beachte, dass bei van der Waerden der Ring von rechts auf dem Modul operiert, nicht wie heute bei jedem Vektorraum von links, das ist aber wirklich Jacke wie Hose. |
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