Münzspiel Wahrscheinlichkeit Strategie

02.10.2023, 14:41	Justin00	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Frage: Ben spielt ein Spiel mit einer unfairen Münze, die mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ auf Kopf und $\begin{eqnarray} 1-q \end{eqnarray}$ auf Zahl landet. Ben startet mit 100 Euro und kann in jeder Runde einen beliebigen Teil seines Guthabens auf Kopf oder Zahl setzen. Liegt er richtig bekommt er den doppelten Betrag zurück, andernfalls verliert er seinen Einsatz. Der Mindesteinsatz pro Runde beträgt 1 Euro und MUSS jede Runde bezahlt werden. Welche Strategie könnte Ben verfolgen, um möglichst viel zu gewinnen, wenn er 20 Runden spielen darf? Meine Ideen: Die vorige Teilaufgabe war mit $\begin{eqnarray} q=0,2 \end{eqnarray}$ . Hier war die Lösung das Kelly-Kriterium zu verwenden. Eine Idee, die ich hier hätte, wäre mit bedingter Wahrscheinlichkeit den Wert $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ zu schätzen nach jeder Runde und auf diesen Wert dann das Kelly-Kriterium anzuwenden. Hat jemand eine andere Idee? Ein Weg, um $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ , würde mir als Antwort auch vollkommen ausreichen. Z.B. was ist mein geschätzter Wert für $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ , wenn in den ersten 5 Würfen 3 mal Kopf und 2 mal Zahl oben lag. Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
08.10.2023, 01:12	SC/MP	Auf diesen Beitrag antworten »
Ereignisse Wenn man $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1-q \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ substituiert, dann kann man eine Tabelle mit zwei Zeilen und zwei Spalten erzeugen. Der Inhalt der ersten Zeile wäre: $\begin{eqnarray} a^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ab \end{eqnarray}$ . Der Inhalt der zweiten Zeile wäre: $\begin{eqnarray} ba \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b^2 \end{eqnarray}$ . Werden alle Einträge addiert und ordnet die Glieder des Polynoms, dann ergibt sich folgende Gesamtdarstellung: $\begin{eqnarray} a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ per Definition voneinander abhängig sind und zusätzlich gilt $\begin{eqnarray} q +(1-q) = 1 \end{eqnarray}$ gilt auch: $\begin{eqnarray} a^2+2ab+b^2 = 1 \end{eqnarray}$ . Zeilenweise gilt: $\begin{eqnarray} a^2 + ab = a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ba + b^2 = b \end{eqnarray}$ . Bei jedem weiteren Erstellen eines Zufallsergebnis mit eigenen Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse lassen sich auf Basis dieser Tabelle Folgetabellen mit unterschiedlichen Eigenschaften konstruieren. Einmal ohne und einmal mit der Zusammenfassung gleicher Glieder. Das Bildungsgesetz hierfür und die zu schliessenden Implikationen hieraus dürften eigentlich kein Problem sein.

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