Schafbestand der Lüneburger Heide

04.10.2023, 10:57

arja

Schafbestand der Lüneburger Heide

Meine Frage:
Der Schafbestand der Lüneburger Heide besteht aus schwarzen und weißen Schafen. Die Anzahl der schwarzen Schafe stieg im Jahr 10 gegenüber 09 um 10%, die Anzahl der weißen Schafe um 2%. Im 10 betrug der Anteil der schwarzen Schafe 15% des Gesamtbestandes an Schafen. Um wieviel Prozent stieg der Gesamtschafbestand in 10 gegenüber 09?

Meine Ideen:
?

04.10.2023, 19:23

Elvis

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Solche Aufgaben versuche ich mit mehreren Gleichungen zu lösen, die ich aus dem Text herauslese.
Zunächst benennt man Variable, z.B. w=weiße Schafe 09, W=weiße Schafe 10, s=schwarze Schafe 09, S=schwarze Schafe 10, dann ist s+w die Anzahl der Schafe 09 und S+W die Anzahl der Schafe 10.
Prozente sind hundertstel, also kann man die folgenden Gleichungen aufstellen.

S=1,10*s [Die Anzahl der schwarzen Schafe stieg im Jahr 10 gegenüber 09 um 10%]
W=1,02*w [die Anzahl der weißen Schafe um 2%]
S=0,15*(S+W) [Im 10 betrug der Anteil der schwarzen Schafe 15% des Gesamtbestandes an Schafen]

Die gesuchte Größe nennt man gerne x, für diese gilt S+W=(1+x)*(s+w).

Damit rechnet man so lange herum (einsetzen, gleichsetzen, addieren von Gleichungen), bis man eine Lösung gefunden hat.

05.10.2023, 15:27

Elvis

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Mit einem geeigneten Zahlenbeispiel kommt man auch weiter, denn Prozente, die für eine Herde gelten, gelten für alle passenden Herden. Wenn du keine Idee hast, probier's mal mit S=99 als Startwert.

Statt mit Zahlen mit meinen Gleichungen zu rechnen ist letztlich auch nur Bruchrechnen.

06.10.2023, 10:23

HAL 9000

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Ich würde mit (sagen wir mal) 660 Schafen im Jahr 10 anfangen - diese Zahl ist natürlich rein zufällig gewählt.

Darunter sind dann 0.15*660 = 99 schwarze und 0.85*660 = 561 weiße Schafe. Im Jahr 9 waren das den Angaben der Aufgabe zufolge dann 99/1.1 = 90 schwarze und 561/1.02 = 550 weiße Schafe, macht summa summarum 640 Schafe im Jahr 9. Damit bekommen wir Quotient 660/640 = 1.03125, also 3.125% Steigerung - und kein Schaf musste in dieser Rechnung zerteilt werden.

P.S.: Was für ein Zufall, dass Elvis auch 99 gewählt hat. Augenzwinkern

EDIT: Tippfehler beim Ergebnis - es sind 3.125% statt 3.25%.

06.10.2023, 20:47

Gualtiero

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Ich wollte dem Fragesteller einen kleinen Hinweis auf eine wirklich leicht zu sehende Schlussfolgerung geben:
Die schwarzen Schafe machen im Jahre 10 15% der Gesamtanzahl aus, dann haben die weißen Schafen wohl einen Anteil von 85%.
Aber da er sich höchstwahrscheinlich eh nicht mehr rührt, poste ich mein Ergebnis, das aber von HAL etwas abweicht . . . verwirrt

G = Gesamtanzahl der Schafe im Jahre 10.
a = Wachstumsfaktor von 09 auf 10

Die Anzahl der schwarzen Schafe im Jahre 09: $\begin{eqnarray*} \frac{G \cdot 15}{100 \cdot 1,1} \end{eqnarray*}$

. . . . . . . . . . . . . . . der weißen im Jahre 09: $\begin{eqnarray*} \frac{G \cdot 85}{100 \cdot 1,02} \end{eqnarray*}$

Die Summe dieser beiden Werte stellt die Anzahl aller Schafe im Jahre 09 dar.
Und diese multipliziert mit dem Wachstumsfaktor $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ergibt wieder $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Das führt zu: $\begin{eqnarray*} \left(\frac{G \cdot 15}{100 \cdot 1,1}+\frac{G \cdot 85}{100 \cdot 1,02}\right) \cdot a = G \end{eqnarray*}$

Vereinfacht: $\begin{eqnarray*} \frac{15 \cdot 1,02+85 \cdot 1,1}{100 \cdot 1,1 \cdot 1,02} \cdot G \cdot a = G \end{eqnarray*}$

Das Produkt von Bruch und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ muss 1 sein, andernfalls wäre der Ansatz falsch.

Ich bekomme a = 1,03125

06.10.2023, 21:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gualtiero
das aber von HAL etwas abweicht

Nein, ich hatte mich oben nur beim Dezimalwert vertippt: 660/640 = 1.03125 ist korrekt.

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