Rotationsmatrix aus zwei Vektoren

05.10.2023, 16:38	unass	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsmatrix aus zwei Vektoren Meine Frage: Ich habe folgendes Problem: Gegeben sind jeweils zwei gleich große Vektoren im R³ in verschiedenen Koordinatensystemen; die karthesischen Komponenten beider Vektoren im jeweiligen System sind bekannt. Wie berechnet man die Rotationsmatrix der Koordinatensysteme, so daß man die jeweiligen Vektoren ineinander überführt, d.h. wie berechnet man die Transformationsmatrix. Meine Ideen: Im Prinzip muß man die Eulerwinkel bestimmen,d.h. Rot * Vektor1_alt=Vektor1_neu und Rot * Vektor2_alt=Vector2_neu. wie kann man diese Winkel, die ja Rotationen um irgendwelche Achsen sind möglichst einfach bestimmen?
05.10.2023, 21:45	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationsmatrix aus zwei Vektoren Was sind >zwei gleich große Vektoren<? Rotationen im R³ https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#chapter/259248 nur ein Urbild/Bild-Paar wird nicht reichen... Rotation um ?
06.10.2023, 08:22	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorge dafür, dass der Originalvektor $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ und der Bildvektor $\begin{eqnarray} \vec a' \end{eqnarray}$ im gleichen Koordinatensystem vorliegen. (Ich vermute das ist schon der Fall, und du hast die Sache falsch verstanden.) Dananch: 1. Bestimme den Drehwinkel $\begin{eqnarray} \sin(\phi) =\tfrac{\|\vec a \times \vec a'\|}{\|\vec a\| \cdot \| \vec a'\|} \end{eqnarray}$ 2. Bestimme die auf 1 normierte Drehachse $\begin{eqnarray} \vec n=\tfrac{\vec a \times \vec a'}{\|\vec a\| \cdot \|\vec a'\|} \end{eqnarray}$ Wenn man den Drehwinkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und die normierte Drehachse $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ kennt, kann man die Drehmatrix leicht ermitteln.
06.10.2023, 10:30	unass	Auf diesen Beitrag antworten »
Halllo noch einmal, wie ich einen Vektor in EINEM Koordinatensystem drehe (mittels des Kreuzproduktes) ist mir bekannt.Wie kann ich aber möglichst einfach das Koordinatensystem ändern, so das aus den Koordinaten des Alt_Vektors die Koordinaten des Neu_Vektors werden. Der Vektor bleibt unverändert nur die Koordinaten ändern sich. Ich weiß nur das Prinzip: Man hat von zwei Vektoren die Koordinatendarstellung im alten und neuen System und berechnet dann die Rotationsmatrix (Eulermatrix). Aber wie? Uwe
09.10.2023, 09:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Drehmatrix eindeutig zu bestimmen, benötigst drei Originalvektoren $\begin{eqnarray} \vec a_1, \vec a_2, \vec a_3 \end{eqnarray}$ und die zugehörigen Bildvektoren $\begin{eqnarray} \vec a'_1, \vec a'_2, \vec a'_3 \end{eqnarray}$ . Für nur zwei Vektorpaare wäre die Lösung nicht eindeutig, d.h. es gäbe mehr als eine mögliche Rotationsmatrix. Du suchst also eine 3x3-Rotationsmatrix, für die gilt $\begin{eqnarray} \vec a'_1=D\vec a_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec a'_2=D\vec a_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec a'_3=D\vec a_3 \end{eqnarray}$ Dies kann man als eine einzige Matrixgleichung schreiben $\begin{eqnarray} A'=DA \end{eqnarray}$ Dieses Matrixgleichung kann man wiederum als 3 Gleichungssysteme auffassen, deren Lösungen die Zeilen bzw. Spalten der Rotationsmatrix sind. Du musst also 3 Gleichungssystem lösen.
09.10.2023, 12:27	unass	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nach kurzem Nachdenken: Nimmt man an, dass die Drehmatrix eine orthogonale ist, dann reichen 6 Gleichungen. Hier ist Dij=Dji. Danke nochmals, Uwe
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10.10.2023, 09:31	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehmatrizen sind im Allgmeinen nicht symmetrisch, also $\begin{eqnarray} D \neq D^T \end{eqnarray}$ . Vielmehr gilt bei Drehmatrizen $\begin{eqnarray} D^T=D^{-1} \end{eqnarray}$
10.10.2023, 13:12	unass	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Ehos, danke für den Hinweis! Uwe

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