Termumformung

06.10.2023, 13:28

Evelyn2003

Termumformung

Kann mir einer erklären bitte wie man von der linken mittels Termumformung auf die rechte Seite der Gleichung gelangt?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} y_j - \sum\limits_{j=2}^{n+1} y_j = y_1 + \sum\limits_{j=2}^{n} -\ (\sum\limits_{j=2}^{n} y_j + y_{n+1} ) \end{eqnarray*}$

06.10.2023, 13:44

Steffen Bühler

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RE: Termumformung
Nehmen wir mal n=3.

Dann haben wir erst einmal $\begin{eqnarray*} \big(y_1+y_2+y_3\big)-\big(y_2+y_3+y_4\big) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst Du zunächst mal das $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ aus der ersten Klammer rausziehen, also $\begin{eqnarray*} \big( y_1+(y_2+y_3) \big) - \big(y_2+y_3+y_4 \big) \end{eqnarray*}$

Und dann das $\begin{eqnarray*} y_4 \end{eqnarray*}$ aus der zweiten Klammer: $\begin{eqnarray*} \big( y_1+(y_2+y_3) \big) - \big( (y_2+y_3)+y_4 \big) \end{eqnarray*}$

Jetzt?

Viele Grüße
Steffen

06.10.2023, 13:54

Evelyn2003

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RE: Termumformung

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Jetzt?

Vielen Dank. War einleuchtend! Wink

Wärst du so lieb mir auch bitte zusätzlich zu erklären wie man von dem linken zum rechten Term kommt?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} y_j - \sum\limits_{j=1}^{n} y_{j+1} = \sum\limits_{j=1}^{n} y_j - \sum\limits_{j=2}^{n+1} y_j \end{eqnarray*}$

06.10.2023, 14:17

Evelyn2003

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RE: Termumformung
Oder besser gefragt: Wie kommt man bitte auf den rechten Term? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} (\frac{1}{2})^j -1 = \frac{1- (\frac{1}{2})^{n+1}}{1- \frac{1}{2}} -1 \end{eqnarray*}$

06.10.2023, 15:04

Steffen Bühler

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RE: Termumformung
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} y_{j+1} = \sum\limits_{j=2}^{n+1} y_j \end{eqnarray*}$

ergibt sich aus der Überlegung, dass j entweder von 1 bis n läuft und dann die Ypsilons mit dem um eins erhöhten Index aufaddiert werden, also $\begin{eqnarray*} y_2 \dots y_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Oder aber der Index läuft gleich von 2 bis n+1, mit demselben Ergebnis.

Die zweite Umformung ergibt sich aus der Partialsumme der geometrischen Reihe $\begin{eqnarray*} s_n=a_0\sum_{k=0}^{n} q^k = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Die Herleitung ist auf der verlinkten Wiki-Seite recht gut erklärt.

06.10.2023, 16:44

nichteuerernst

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RE: Termumformung
Das ist die Summenformel für die Partialsumme einer geometrischen Reihe.
$\begin{eqnarray*} 1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$
Auf beiden Seiten hängt dann noch -1 dran.

07.10.2023, 10:08

Evelyn2003

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Vielen Dank euch beiden! smile

07.10.2023, 10:30

Evelyn2003

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Kann mir jemand bitte vielleicht auch hier weiterhelfen? Wie komme ich bitte von den rechten auf den linken Term? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} q^j - q \cdot \sum\limits_{j=0}^{n} q^j = 1 + \sum\limits_{j=1}^{n} q^j - \sum\limits_{j=1}^{n} q^{j+1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Indexverschiebung von 0 auf 1 berücksichtige, dann würde für mich folgendes in Frage kommen:

da $\begin{eqnarray*} j=1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} q^j + q^0 - q \cdot \sum\limits_{j=1}^{n} q^j + q^0 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} q^j + 1 - \sum\limits_{j=1}^{n} (q^j \cdot q + q^0 \cdot q) = 1 + \sum\limits_{j=1}^{n} q^j - \sum\limits_{j=1}^{n} (q^{j+1} + q) \end{eqnarray*}$

verwirrt

07.10.2023, 11:33

Mathema

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Das ist beides verkehrt. Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} q^j - q \cdot \sum\limits_{j=0}^{n} q^j = 1 + \sum\limits_{j=1}^{n} q^j - \sum\limits_{j=1}^{n} q^{j+1} -q \end{eqnarray*}$

08.10.2023, 11:00

Evelyn2003

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Zitat:

Original von Mathema
Das ist beides verkehrt. Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} q^j - q \cdot \sum\limits_{j=0}^{n} q^j = 1 + \sum\limits_{j=1}^{n} q^j - \sum\limits_{j=1}^{n} q^{j+1} -q \end{eqnarray*}$

Kannst du bitte explizit auch zeigen wie du dahin gekommen bist? verwirrt

08.10.2023, 13:00

Steffen Bühler

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Klar ist Dir ja anscheinend

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} q^j = 1 + \sum\limits_{j=1}^{n} q^j \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} q^0=1 \end{eqnarray*}$ .

Weiter ist
$\begin{eqnarray*} q \cdot \sum\limits_{j=0}^{n} q^j = \sum\limits_{j=0}^{n} q^{j+1} \end{eqnarray*}$

wohl auch einsichtig, oder?

Dann kommst Du mit $\begin{eqnarray*} q^1=q \end{eqnarray*}$ doch schnell zu

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} q^{j+1} +q \end{eqnarray*}$

Ansonsten könntest Du uns ja mal verraten, was genau unklar ist.

08.10.2023, 15:00

Evelyn2003

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Ist der linke term nicht dasselbe wie rechts?

$\begin{eqnarray*} - \sum\limits_{j=1}^{n} (q^{j+1} + q) = - \sum\limits_{j=1}^{n} q^{j+1} - q = \sum\limits_{j=1}^{n} -q^{j+1} - q \end{eqnarray*}$

08.10.2023, 15:31

Mathema

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Was wäre denn deiner Meinung nach:

$\begin{eqnarray*} - \sum\limits_{j=1}^{2} (q^{j+1} + q)=\ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \sum\limits_{j=1}^{2} q^{j+1} - q=\ldots \end{eqnarray*}$

? Schreibe mal aus.

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