Gruppeneigenschaft einer binären Operation

08.10.2023, 21:37	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppeneigenschaft einer binären Operation Hallo, mir fehlt leider ein geeigneter Ansatz zur Lösung von folgender Frage: Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ eine nicht leere Menge und sei $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ eine assoziative Binäroperation auf $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Nehmen wir an, dass wir für jedes Element $\begin{eqnarray} a,b,\in G \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x \in G \end{eqnarray}$ finden können, so dass $\begin{eqnarray} a * x = b \end{eqnarray}$ ist, und wir können $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ finden, so dass $\begin{eqnarray} y * a = b \end{eqnarray}$ ist. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} (G,) \end{eqnarray}$ eine Gruppe ist. Die Abgeschlossenheit und die Assoziativität folgen aus der Definition der binären Operation bzw. der Aufgabenstellung. Ich müsste jetzt prüfen, dass es ein neutrales Element gibt und dass es eine Inverse gibt. Für das neutrale Element müsste $\begin{eqnarray} a x = a \end{eqnarray*}$ gelten. Wie aber zeigt man dies hier? Noch schwieriger wird es beim inversen Element.
09.10.2023, 05:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppeneigenschaft einer binären Operation Aus der ersten "speziellen" Eigenschaft folgt, dass es für jedes $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x_a \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} a x_a = a \end{eqnarray}$ ist. D.h. jedes $\begin{eqnarray} x_a \end{eqnarray}$ ist ein Kandidat für das neutrale Element. Zeige mit der zweiten Eigenschaft, dass tatsächlich $\begin{eqnarray} b * x_a = b \end{eqnarray}$ gilt und (jedes) $\begin{eqnarray} x_a \end{eqnarray*}$ tatsächlich das neutrale Element ist. Das Inverse folgt trivial aus den genannten Eigenschaften und der Existenz eines neutralen Elements.
09.10.2023, 08:54	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppeneigenschaft einer binären Operation Hallo @IfindU, das versuche ich mal und danke für den Hinweis!
09.10.2023, 15:35	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppeneigenschaft einer binären Operation Ich würde gerne eine erste Lösung veröffentlichen: Für das neutrale Element: Angenommen $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ ist eine Lösung von $\begin{eqnarray} a x = a \end{eqnarray}$ . Wir zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray} b * e = b \end{eqnarray}$ gilt. Dazu setzen wir $\begin{eqnarray} b * e = (y * a ) * e = y * (a * e) = y * a = b \end{eqnarray}$ , wobei hier die Eigenschaft $\begin{eqnarray} y * a = b \end{eqnarray}$ verwendet wurde. Für das inverse Element: Sei $\begin{eqnarray} a' \end{eqnarray}$ eine Lösung von $\begin{eqnarray} y * a = e \end{eqnarray}$ (kann man das so annehmen?), dann ist $\begin{eqnarray} a' \end{eqnarray}$ eine (linke) Inverse von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray*}$ .
09.10.2023, 16:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppeneigenschaft einer binären Operation Sehr gut, auch explizit das Assoziativgesetz dargestellt . Ich würde das Element bloss nicht $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ nennen, wenn noch nicht klar ist, dass das Element das neutrale Element ist. Und zum (Links-) Inversen von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ : Es ist definiert als das $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ya = e \end{eqnarray}$ . Und so ein $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ existiert nach der geforderten Eigenschaft ja. Man nennt es dann $\begin{eqnarray} a' \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray*}$ oder noch sicherlich 10 andere Namen. Aber das sind nur Namen.
10.10.2023, 10:14	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppeneigenschaft einer binären Operation Vielen Dank @IfindU
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »