Zahlentheorie Zahl mit ggT dividieren

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Blopp Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie Zahl mit ggT dividieren
Sei , warum kann man schreiben, dass ist, wobei eine Primzahl ist?

Gibt es hierzu einen Beweis oder folgt das daraus, dass man sich vorstellen kann, dass aus der der Faktorisierung von bei einer Division mit die gemeinsamen kleinsten Faktoren gestrichen werden und so schließlich immer etwas übrig bleibt, das aus einer Primzahl und einem beliebigen Faktor besteht. Ein Beispiel:










Gut, hier blieb jetzt nur die als Primzahl übrig, aber generelle hätte man doch immer sowas wie ?

Oder folgt aus der Definition des ggT, dass also und daher und weiter eine Faktorisierung besitzt und man dann ganz allgemein schreiben kann ohne weiter auf die anderen Primfaktoren einzugehen...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenbeispiel. ggT(1,1)=1 , und 1/1=1 hat keinen Primteiler p.
a/ggT(a,b)=p*c kann man nur schreiben, wenn a/ggT größer als 1 ist, denn jede natürliche Zahl größer als 1 hat (mindestens) einen Primteiler.

In deinem Beispiel ist übrigens 12/6=2=2*1, also p=2,c=1.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe mal von positiven aus. Sind auch negative Zahlen oder gar Null zugelassen, kann man das folgende nicht ganz so formulieren, sondern muss ein paar Ausnahmen beachten.

Aus folgt zunächst mal nur, dass und zwei teilerfremde ganze Zahlen sind. Wie von Elvis angemerkt kann dabei durchaus der Fall eintreten, und zwar immer dann wenn gilt.

Nur unter der Zusatzvoraussetzung (was gleichbedeutend mit ist) können wir irgendeinen Primteiler von auswählen sowie anschließend setzen und haben dann das gewünschte .
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