Integral einer Exponentialfunktion

10.10.2023, 11:48	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral einer Exponentialfunktion Meine Frage: Handbook of Mathematical Psychology, S. 353 Im o.a. Lehrbuch werden zwei Integrale berechnet, die ich nicht nachvollziehen kann. (1) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty } \! e^{-\lambda t} \, dt = \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray}$ und (2) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty } \! e^{\frac{-\lambda t^{2} }{2} } \, dt = \left(\frac{\pi }{2\lambda } \right) ^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zu (1) hätte ich noch eigene Ideen, die bekannten Integrationsregeln für Exponentialterme anwenden, also nach Regel $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty } \! e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} \end{eqnarray}$ ergäbe sich $\begin{eqnarray} \frac{1}{-\lambda } ( e^{-\lambda t}) = \frac{e^{-\lambda t} }{-\lambda } \end{eqnarray}$ , aber unter Anwendung welcher Zwischenschritte ergibt das das gesuchte $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray}$ ? Bei (2) habe ich nicht die geringste eigene Idee. Wo kommmt plötzlich $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ her?
10.10.2023, 12:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es handelt sich ja der oberen Grenze wegen um ein uneigentliches Integral, d.h., es ist $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{\infty} e^{-\lambda t} ~ dt = \lim\limits_{T\to\infty} \int\limits_0^T e^{-\lambda t} ~ dt = \lim\limits_{T\to\infty} \left[ -\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_{t=0}^T = \lim\limits_{T\to\infty} \left( -\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda T} + \frac{1}{\lambda}e^0 \right) = \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$ denn es gilt ja $\begin{eqnarray} \lim\limits_{T\to\infty} e^{-\lambda T} = 0 \end{eqnarray}$ , zumindest für $\begin{eqnarray} \lambda>0 \end{eqnarray}$ (was, wie ich annehme, hier vorausgesetzt wird). Zu (2): Das lässt sich durch Substitution $\begin{eqnarray} x=\sqrt{\lambda}t \end{eqnarray}$ sowie Symmetriebetrachtungen zurückführen auf $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{\infty} e^{-\frac{\lambda t^2}{2}} ~ \dd t = \frac{1}{2} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{\lambda t^2}{2}} ~ \dd t = \frac{I}{2\sqrt{\lambda}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} I:=\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \dd x \end{eqnarray}$ . Wie kann man $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ berechnen? Da gibt es mehrere Möglichkeiten, u.a. folgenden interessanten Weg über den Transformationssatz: Man überführt $\begin{eqnarray} I^2 = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot e^{-\frac{y^2}{2}} ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray}$ in Polarkoordinaten. Mit der üblichen Transformationsregel $\begin{eqnarray} \dd x ~ \dd y = r ~ \dd r ~ \dd\varphi \end{eqnarray}$ wird daraus $\begin{eqnarray} I^2 = \int\limits_{\varphi=-\pi}^{\pi} ~ \int\limits_{r=0}^{\infty} e^{-\frac{r^2}{2}}\cdot r ~ \dd r ~ \dd\varphi = 2\pi \int\limits_{r=0}^{\infty} re^{-\frac{r^2}{2}}\cdot ~ \dd r = 2\pi \left[ -e^{-\frac{r^2}{2}} \right]_{r=0}^{\infty} = 2\pi \end{eqnarray}$ , was zusammen mit $\begin{eqnarray} I>0 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} I = \sqrt{2\pi} \end{eqnarray}$ führt, insgesamt demnach zu $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{\infty} e^{-\frac{\lambda t^2}{2}} ~ \dd t = \frac{\sqrt{2\pi}}{2\sqrt{\lambda}} = \sqrt{\frac{\pi}{2\lambda}} \end{eqnarray}$ .
10.10.2023, 13:14	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, ich sag mal Danke, sieht für mich beim ersten Durchsehen total schlüssig und nachvollziehbar aus, ich muss das natürlich erstmal in Ruhe Schritt für Schritt nachvollziehen. Bis bald.
11.10.2023, 09:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ gibt es auch einen Weg über das Residuenkalkül, der sicher sehr lehrreich ist, aber gewiss nicht kürzer: https://math.stackexchange.com/questions...elogram-contour
11.10.2023, 10:54	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bleibe bei Deinem ersten Lösungsvorschlag. Unter welchem Suchbegriff finde ich denn die Transformationsregel der beiden Ableitungen in eine Funktion aus Radius und Winkel (z.B. wenn ich in einem Handbuch wie Bronstein & Semendjajew nachlesen möchte?) In der Tabelle für Ableitungsregeln?
11.10.2023, 11:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht wie gesagt um den Transformationssatz für den Spezialfall der Polarkoordinatentransformation $\begin{eqnarray} \Phi:~(0,\infty)\times \left(-\pi,\pi\right]\to \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Phi(r,\varphi) = (r\cos(\varphi),r\sin(\varphi)) \end{eqnarray}$ . Genau diese Transformation wird im verlinkten Wiki-Beitrag genau vorgerechnet, sogar die zu integrierende Funktion ist fast dieselbe (nur mit $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{2} \end{eqnarray}$ im Exponententerm), wie ich gerade mitgekriegt habe.
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11.10.2023, 11:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Anmerkung: Das ist ein "Standardintegral", wo man sicherlich nicht von Psychologie-Studenten erwartet es herleiten zu können. Man sollte es kennen, weil der Wert für Normalverteilungen wichtig ist und wie man Parameter wie $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ reinnimmt. Ich bezweifle, dass das Buch mehr erwartet als das.
11.10.2023, 12:32	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
danke!

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