Durchschnittlicher Abstand zum nächsten Punkt beim zufälligen Platzieren von Punkten in ein Quadrat.

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mätt Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnittlicher Abstand zum nächsten Punkt beim zufälligen Platzieren von Punkten in ein Quadrat.
Meine Frage:
Wenn man zufällig eine Anzahl von n Punkten in einem Quadrat platziert, was ist der durchschnittlich Abstand zum nächstgelegenen Punkt?

Meine Ideen:
Meine Theorie ist, dass sich bei vielen Punkten ein Gittermuster bildet. Dann könnte man den Abstand folgendermassen beschreiben: r=A/sqrt(n) Wobei A die Fläche des Quadrats ist.
SC/MP Auf diesen Beitrag antworten »
Ideenskizze und Vermutung
Die Quadratur des Kreises?

Punkte ohne Ausdehnung in der Fläche. Quadrat zweidimensional. Wahl des Koordinatensystems. Größte Distanz Diagonale im Quadrat. Kürzeste Distanz = 0. Inkreis kontra Umkreis gemäßes äquivalentes zentriertes 50% Flächenquadrat. Teilflächen äquivalent zu Wahrscheinlickeiten. Kreise um Punkte äquivalent zur punkteigenen Binominalverteilung. Tangenten am Inkreis. Rundung äquivalent zur erwünschten Auflösung. Bei zwei Punkten beginnen und dann auf drei oder n Punkte erweitern.

Nach diesem groben Vorlauf würde ich dann etwas konkreter werden und evenutell Unbrauchbares und Unnötiges aussortieren. Über die Umrechnung von punkteigenen Binomialverteilungen kommt man wahrscheinlich zu anderen Formeln, die in der Mathematik vermutlich schon existieren. Es wäre dann nur eine reine Übung in praktisch angewandter Mathematik.

Meine Vermutung beruht auf eigener Erfahrung mit der in sich schlüssigen Struktur der Mathematik.
SC/MP Auf diesen Beitrag antworten »
Nebenbemerkung
Das Problem erinnert mich an das alte Lottospiel 6 aus 49 plus Zusatzzahl

Man kann alle möglichen zusammenhängende und unzusammenhängende Flächen jeglicher Form eintragen, solange sie 50% der Fläche ausmachen. Hat man eine große Auswahl von Strukturen, die das Quadrat belegen, dann kann man sogar mit höherer Wahrscheinlichkeit anhand des Vergleichs der "Treffer" in den Strukturen vorhersagen, innerhalb welcher Struktur sich der nächste Punkt befindet. Ein Koordinatensystem wäre dann struktureigen zu konstruieren und in das ursprüngliche Koordinatensystem zurück zu übertragen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nebenbemerkung
Zitat:
Original von mätt
Wenn man zufällig eine Anzahl von n Punkten in einem Quadrat platziert, was ist der durchschnittlich Abstand zum nächstgelegenen Punkt?

Ich würde es mal mit Monte-Carlo-Simulation versuchen, ähnlich wie hier. Das bestätigt entweder deine Vermutung oder (wovon ich ausgehe) widerlegt sie.


EDIT: Hatte mich verlesen. Bei der Problemstellung müsste auch theoretisch was drin sein, über den zweidimensionalen Poisson-Punktprozess.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mätt
Dann könnte man den Abstand folgendermassen beschreiben: r=A/sqrt(n)
Wobei A die Fläche des Quadrats ist.

Das stimmt schon von der Dimension nicht, vielleicht meinst du ja .

Meine Rechnungen (mit einem entsprechenden zweidimensionalen Poisson-Punktprozess) ergibt genau die Hälfte davon, d.h. , gültig aber nur asymptotisch, d.h. für so große , wo die Randeffekte vernachlässigbar sind. Mit "Randeffekte" meine ich dabei, dass Punkte in der Nähe der vier Quadratseiten systematisch eine größere Entfernung vom nächsten Punkt haben.

Kann man ja mal mit einer Simulation überprüfen. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, auch wenn mätt das Interesse verloren hat, die Idee ist folgende:

Für sieht man die Punkte im Quadrat als Ausschnitt eines Poisson-Punktprozesses der gesamten Ebene mit Intensität an, und die Verteilung der Zufallsgröße "Abstand zum nächstgelegenen Punkt im Punktmuster" für eben jenen Poisson-Prozess lässt sich so bestimmen: Betrachten wir dazu einen beliebigen Punkt des Punktmusters und einen Kreis vom Radius um diesen Punkt. Dann ist die zufällige Anzahl der Punkte des Punktmusters in diesem Kreis (exklusive des Mittelpunkts) eine mit Parameter poissonverteilte Zufallsgröße, folglich gilt

.

Für den Erwartungswert gilt nun



Mit der linearen Substitution bekommt man



infolge für die Standardnormalverteilung.

----------------------------------------------------

Für endliche macht man mit dieser Gleichsetzung des Nächste-Nachbar-Abstands von Poissonprozess vs. Quadrat einen Fehler, da bei ersterem der nächste Nachbar bisweilen außerhalb des Quadrates liegt, das betrifft in besonderem Maße die Punkte in der Nähe der vier Quadratseiten. Deswegen ist der oben berechnete mittlere Abstandswert für kleine zu niedrig, aber in der Asymptotik sollte es hinhauen.
 
 
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