Beweis von Rechenregeln

15.10.2023, 07:17

lionsbook7

Beweis von Rechenregeln

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe Schwierigkeiten bei der folgenden Aufgabe:

1. Formuliere Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden natürlichen Zahlen.
2. Beweise die Rechenregeln mit den Endzifferbeschreibungen
3. Beweise die Rechenregeln mit den Gleichungsbeschreibungen

Meine Ideen:
Die Rechenregeln habe ich wie folgt definiert:
Wenn bei der Addition zweier natürlicher Zahlen beide Summanden gerade oder beide Summanden ungerade sind, so ist die Summe gerade. In jedem anderen Fall ist die Summe ungerade.
Wenn bei der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen mindestens einer der beiden Faktoren gerade ist, soist auch das Produkt gerade. Nur wenn beide Faktoren ungerade sind, ist auch das Produkt ungerade.

Mit der Endzifferbeschreibung ist gemeint, dass eine Zahl genau dann gerade, bzw. ungerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich 0,2,4,6,8,bzw. ungerade wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem 1,3,5,7,9 ist. Die Gleichungsbeschreibung ist natürlich für ungerade Zahlen 2k+1 und für gerade Zahlen 2k.

Jetzt habe ich aber Schwierigkeiten mit dem Beweis, denn ich habe mir die Rechenregeln einfach mittels Fallunterscheidung überlegt (wenn a positiv und b negativ,...). Falls ihr mir hier helfen und mir sagen könntet, wie ich hier vorgehen muss, wäre das super lieb smile

Danke schon einmal im Voraus!

15.10.2023, 10:14

SC/MP

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Die Kunst der Mathemagie
Das Darstellungsformat von Zahlen in der Mathematik beruht auf dem Stellenwertsystem arabischer Ziffern.

Sowohl bei den Summen als auch beiden Multiplikationen reicht es völlig aus, eine beschreibenden Beweis durch vollständige Aufzählung aller Ergebnisse auf Basis der letzten und geringstwertigsten Ziffer zu führen.

Die Beweisführung in allen drei Fällen degeneriert somit, zu einer einfach ablesbaren Aufzählung im geeigneten Darstellungsformat.

Nur ein Mensch

Eine Kunst in der Mathematik ist es, dieses reine Aufzählen durch eine mathematisch-sachbezogene algorithmisch darstellbare, komplexe Form zu ersetzen, die es auch erfahrenen Mathematikern erlaubt, in eigener Motivation eine vergegenwärtigbare Interpretaion der Wirklichkeit zu ermöglichen, die diesen mathematisch-sachbezogenen Mathematiker erlaubt, ohne Einbußen oder Einschränkungen der eigenen besonderen Befähigungen, sowohl das Fachgebiet der Mathematik, als auch die Welt in der Gegenwart des Mathematikers, durch gewissenhafte Einflußnahme des Mathematikers zu einem größeren Ganzen zu bewegen, ohne die eigene Identität zu verlieren.

15.10.2023, 10:29

Malcang

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RE: Beweis von Rechenregeln

Zitat:

Original von lionsbook7
2. Beweise die Rechenregeln mit den Endzifferbeschreibungen

Die Idee ist, die Endziffer zu "extrahieren".
Beispiel: $\begin{eqnarray*} 54.748 = 54.740 + 8 \end{eqnarray*}$ .
Nun überlegen wir uns, wie wir dieses Zahl noch weiter in ihre Bausteine zerlegen können:
$\begin{eqnarray*} 54.748 = 54.740 + 8 = 5\cdot 10^4 + 4\cdot 10^3 + 7\cdot 10^2 + 4\cdot 10^1 + 8\cdot 10^0 \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} \10^0 = 1 \end{eqnarray*}$ schreiben wir einfacher $\begin{eqnarray*} 54.748 = 5\cdot 10^4 + 4\cdot 10^3 + 7\cdot 10^2 + 4\cdot 10^1 + 8 \end{eqnarray*}$ .

Versuchen wir nun also, die Zahl $\begin{eqnarray*} 54.748 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ zu teilen, so können wir auch einfach jeden Summanden auf der rechten Seite durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ teilen. Was fällt dabei auf?

Zitat:

Original von lionsbook7
3. Beweise die Rechenregeln mit den Gleichungsbeschreibungen

Im Grunde hast du dir die Antwort schon gegeben. Für eine gerade Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ existiert immer eine Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} 2 = 2k \end{eqnarray*}$ gilt.
Was folgt daraus?

16.10.2023, 12:41

mYthos

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~~Ob sich lionsbook7 nach mehr als 3 Jahren noch für die Antworten interessiert, mag dahingestellt bleiben~~ Big Laugh

Editiert von mY+

mY+

16.10.2023, 13:11

Malcang

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Zitat:

Original von mYthos
Ob sich lionsbook7 nach mehr als 3 Jahren noch für die Antworten interessiert, mag dahingestellt bleiben Big Laugh

mY+

Der Thread wurde doch gestern erst gestartet verwirrt

16.10.2023, 13:25

mYthos

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Ohh, da habe ich das mit dem Datum der Anmeldung verwechselt, sorry! Teufel

Ich werde das streichen.
Danke für die Richtigstellung!

mY+

16.10.2023, 20:53

lionsbook7

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RE: Beweis von Rechenregeln
Vielen vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort!

Leider stehe ichimmer noch etwas auf dem Schlauch:

Meinst du bei der ersten Aufgabe einfach, dass sich "glatte" Zahlen, sprich die Summanden mit Zehnerpotenzen größer als 10^0 immer durch 2 teilen lassen und dadurch die letzte Zahl ausschlaggebend ist? Aber wieso ist das dann der Beweis für die Rechenregeln? Sagt mir das nicht einfach nur, ob die Zahl gerade oder ungerade ist?

Und bei der zweiten Aufgabe verstehe ich den Zusammenhang leider auch noch nicht. Wenn 2=2k gilt, ist k doch immer 1. Wie hilft mir das bei den Rechenregeln weiter?

Es tut mir wirklich leid, aber wenn sich mir nochmal jemand annehmen mag, würde mich das sehr freuen smile

16.10.2023, 21:31

Malcang

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RE: Beweis von Rechenregeln

Zitat:

Original von lionsbook7

Und bei der zweiten Aufgabe verstehe ich den Zusammenhang leider auch noch nicht. Wenn 2=2k gilt, ist k doch immer 1. Wie hilft mir das bei den Rechenregeln weiter?

Mein Fehler. Es muss natürlich $\begin{eqnarray*} n = 2k \end{eqnarray*}$ heißen. Sorry.

Zitat:

Meinst du bei der ersten Aufgabe einfach, dass sich "glatte" Zahlen, sprich die Summanden mit Zehnerpotenzen größer als 10^0 immer durch 2 teilen lassen und dadurch die letzte Zahl ausschlaggebend ist? Aber wieso ist das dann der Beweis für die Rechenregeln? Sagt mir das nicht einfach nur, ob die Zahl gerade oder ungerade ist?

Naja, genau das ist doch die Aufgabe. Du nimmst dir eine beliebige Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Diese kannst du dann als Summe darstellen mit den Summanden $\begin{eqnarray*} a_110^1, a_210^2... \end{eqnarray*}$ und so weiter, wobei die $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ hier beliebige ganze Zahlen zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ sind.
Diese haben in der Tat gemeinsam, dass sie alle durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ teilbar sind.
Die Frage ist also, wie hängen der letzte Summand und die Eigenschaft " $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist teilbar durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ " zusammen.

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