Binomialkoeffizienten abschätzen

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Malcang Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizienten abschätzen
Hallo zusammen,

ich habe mich gefragt, wie ich den Binomialkoeffizienten abschätzen könnte. Dabei habe ich keine Vorgabe oder ähnliches. Ich habe mich nur gefragt, ob man den Ausdruck auch für große immerhin mal überschlägig rechnen könnte.
Ganz grob ginge es ja mit , aber ich frage mich, ob man genauer dran kommt. Daher habe ich folgendes probiert:


Nur etwas anders geschrieben erhalte ich
.
Das kann ich ja nun nach oben abschätzen:

Ein erster Blick bei GeoGebra zeigt, dass das für kleine schonmal nicht ganz schlecht ist (hier als stetige Funktion gezeichnet):
[attach]57309[/attach]

Kann ich das noch etwas vereinfachen?
Ich dachte schon, den binomischen Lehrsatz mal auf die Potenz anzuwenden, aber das brachte mir keine Erkenntnis:


Was sagt ihr dazu? smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Abschätzungen wie bei Wallisschen Produkt kommt man zu für alle .

Das ist m.E. schon eine ganz gute Einschachtelung, und als Abschätzung ist die "Mitte" sogar noch ein Stückchen besser. Augenzwinkern


Zitat:
Original von Malcang
Das kann ich ja nun nach oben abschätzen:

Für ist diese Abschätzung sogar noch schlechter als das von dir auch schon festgestellte triviale . Und da es dir ja eigentlich auf eine Abschätzung für große ankommt, kann ich deine Einschätzung "gar nicht schlecht" nur höchst befremdlich bezeichnen.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Mit Abschätzungen wie bei Wallisschen Produkt kommt man zu für alle .

Das ist m.E. schon eine ganz gute Einschachtelung, und als Abschätzung ist die "Mitte" sogar noch ein Stückchen besser. Augenzwinkern



Danke HAL. Das Produkt kannte ich, aber die Abschätzung zu der es hier führt nicht. Sehr interessant, das schaue ich mir genauer an!

Zitat:
Original von HAL 9000
Für ist diese Abschätzung sogar noch schlechter als das von dir auch schon festgestellte triviale . Und da es dir ja eigentlich auf eine Abschätzung für große ankommt, kann ich deine Einschätzung "gar nicht schlecht" nur höchst befremdlich bezeichnen.


Ach mist... ich hatte noch überlegt, gleich mal zu schauen, wie gut diese Abschätzung wirklich ist. Aber damit bist du mir jetzt zuvorgekommen Big Laugh

Was die Abschätzung gegen angeht: Ich hab' mich gefragt, ob ich mir nicht die Symmetrie des Pascal'schen Dreiecks da zunutze machen kann. Die erhalte ich ja wegen der Zeilensumme. Aber einen vernünfitgen Ansatz bekam ich leider nicht hin.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Abschnitt "Beweisskizze über die Integrale der Sinuspotenzen" des erwähnten Wiki-Artikels steht der Beweis der Doppelungleichung unmittelbar da.

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Ein anderer Zugang besteht über den Zentralen Grenzwertsatz in der Form Moivre-Laplace:

Gemäß dem konvergiert für die Verteilung der Zufallsgröße für gegen die Standardnormalverteilung.

Für sowie folgt damit (unter Berücksichtigung der Stetigkeitskorrektur



mit Dichtefunktion der Standardnormaverteilung ergibt das ebenfalls .

Andererseits ist exakt gerechnet .
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