Addition von Primzahlen = Anzahl bis zum Quadrat

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Primtime Auf diesen Beitrag antworten »
Addition von Primzahlen = Anzahl bis zum Quadrat
Meine Frage:
Bis heute konnte mir noch niemand erklären, welche Gesetzmäßigkeit bzw. Logik sich hinter folgender Beobachtung verbirgt: ?Die Addition de Primzahlen entspricht ca. der Anzahl der Primzahlen bis zum Quadrat der letzten verwendeten Primzahl.?



Meine Ideen:
Ich habe diese Beobachtung 2003 im deutschen Primzahlenforum zum Besten gegeben, um zu sehen ob ein sinnvoller Dialog zustande kommt - Reaktion war jedoch Null. Allerdings hat einer von diesen Clowns es für nötig befunden, aus dieser Aussage ein ?Summentheorem? zu basteln, man fasst es nicht.

Zurück zum Thema. Bildet man die Summe aus relativ wenigen Primzahlen, ist das Ergebnis am Anfang noch recht holprig, das verbessert sich jedoch kontinuierlich mit der Zunahme der verwendeten Primzahlen.

Ich habe dieses Spiel einmal mit den ersten 1,5 Millionen Primzahlen gespielt, die Ergebnisse sind faszinierend.

Genauso wie bei den Primzahlformeln Ri(x) und Li-AS(x) wechseln ständig die Vorzeichen bei den Differenzen zur tatsächlichen Anzahl der Primzahlen.

Also es funktioniert perfekt, aber ich habe nicht die geringste Ahnung warum es funktioniert.

Es muß eine Gesetzmäßigkeit bzw. Logik geben, welche dieses Phänomen erklärt.

Vielleicht hat ja jemand von Euch ein paar Ideen dazu.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich war das eine neue und spannende Erkenntnis. Daher habe ich mal google angeschmissen. Und siehe da, das dritte Resultat liefert die Antwort. Dort findet sich:
Für eine reelle Zahl liefert die Summe über alle Primzahlen die nicht größer als gerade


Möglicherweise ist das aber nicht die Antwort die du hören wolltest, weshalb ich wohl auch als "Clown" durchgehe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Daraus ergibt sich die gewünschte Antwort mit dem Primzahlsatz

Allerdings ist die rechte Seite deutlich größer als und deutlich kleiner als
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann das Ergebnis natürlich auch so interpretieren: Es ist dann , d.h. der Mittelwert der Primzahlen bis hin zu asymptotisch gleich der Intervallmitte . Auf den ersten Blick verwundern das etwas, da ja die Primzahlen im vorderen Teil dichter liegen als im hinteren Teil dieser Summe, da möchte man vielleicht annehmen, dass dieser Mittelwert kleiner ist. Aber asymptotisch für ist dieser Effekt dann wohl doch nur von der Landau-Größenordnung .
Primtime Auf diesen Beitrag antworten »
Addition vonPrimzahlen = Anzahl bis zum Quadrat
Danke für Eure Antworten,
Ich weiß Ihr liebt eure Formeln, aber könntet Ihr das bitte mit ein paar konkreten Zahlenbeispielen zeigen, damit auch mathematische Laien es nachvollziehen können.

Für Eure Mühe und Verständnis im Voraus herzlichen Dank.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Was denn für Beispiele noch? Du hast doch gesagt, mit den ersten 1,5 Millionen Primzahlen hast du es selbst nachgerechnet verwirrt
 
 
Primtime Auf diesen Beitrag antworten »
Addition von Primzahlen = Anzahl bis zum Quadrat
Stell Dir vor, ich möchte tatsächlich etwas von Euch lernen und verstehen was mit euren Formeln am konkreten Zahlenbeispielen gemeint ist.

Ich arbeite mit riesigen Zahlenmengen in Exel-Dateien, da kann ich jede Entwicklung exakt nachvollziehen, genau genommen ist das nichts anderes als „Block und Bleistift“.

Wenn dieses handwerkliche Arbeit alternativ auch durch eine mathematische Formel geleistet werden kann, möchte ich das gerne verstehen und selbst ausprobieren.
SC/MP Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis | Addition von Primzahlen = Anzahl bis zum Quadrat
Was unterscheidet eine optimale Anwort von einer präzisen Antwort von einer situationsangemessenen Antwort?

Die Substanz des Menschen

Das einseitig vereinfachte Pudding-Nagel-Holzgemisch im Verdrängungswettbewerb

Da wo Nagel ist, da ist kein Holz.
Da wo Holz ist, da ist kein Pudding.
Da wo Pudding ist, da ist kein Nagel.

Die Wellpappe und ihre Zuordnungsprobleme

Es gibt unterschiedliche Vorgehensweisen, mit deren Hilfe es möglich ist, präzise zu einer gegebenen Zahl die Antwort geben, ob diese Zahl definitiv eine Primzahl ist oder nicht. Ich nenne diese Vorgehensweise . Es sei eine Laufvariable, die von Schritt zu Schritt nicht dem Verlauf der natürlichen Zahlen folgt. Diese Abfolge von Werten, die diese Laufvariable einnimmt, lässt sich auf natürliche Weise abzählen. Diese Vorgehensweise nenne ich . Bringe ich die eine Vorgehensweise mit der anderen Vorgehensweise zusammen, dann wäre die zusammengetragene Vorgehensweise eine ziemliche Gemengelage ohne unmittelbar greifbares Ergebnis.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Primzahlsatz und damit verwandte Aussagen beziehen sich auf alle unendlich vielen Primzahlen. Es macht keinen Sinn, unendlich viele Beispiele zu berechnen. Solcherlei Unfug überlassen wir gerne Leuten, die unendlich viel Zeit haben. Mathematik bietet zu viel interessantere Abwechslung in verschiedenen Gebieten an als dass wir unsere knapp bemessene Zeit darauf verschwenden werden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Primtime
Wenn dieses handwerkliche Arbeit alternativ auch durch eine mathematische Formel geleistet werden kann, möchte ich das gerne verstehen und selbst ausprobieren.

Wer sagt denn das? Es geht nicht darum, dass die Formeln die Zahlenreihen ersetzen, sondern eher verquaste Formulierungen wie "Die Addition der Primzahlen entspricht ca. der Anzahl der Primzahlen bis zum Quadrat der letzten verwendeten Primzahl" . Wobei die Beschreibung noch einigermaßen geht - im anderen Thread waren da schlimmere Exemplare.
Primtime Auf diesen Beitrag antworten »
Addition von Primzahlen = Anzahl bis zum Quadrkatl
Um das Thema Addition von Primzahlen weiter zu verfolgen, benötige ich zwei Formeln, welche ich bisher nirgends finden konnte.

1.) wie berechnet man die Summe aller geraden Zahlen?

2.) wie berechnet man die Summe aller ungeraden Zahlen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist ja ein lustiger Vogel. Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen kannte schon Pythagoras. Die Summe der ersten n geraden Zahlen ist das Doppelte von dem, was Gauß mit 7 Jahren berechnet hat. Ist dein Computer kaputt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Primtime
1.) wie berechnet man die Summe aller der ersten n positiven geraden Zahlen?

2.) wie berechnet man die Summe aller der ersten n positiven ungeraden Zahlen?

1.)

2.)

Kann man zwar überall nachlesen, aber: Gern geschehen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bekanntlich ist die "Summe" über alle natürlichen Zahlen . Die "Summen" der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen sind fast gleich, also jeweils die Hälfte davon. Augenzwinkern

Wenn du tatsächlich die Summe aller geraden oder ungeraden ganzen Zahlen suchst: 0+1+(-1)+2+(-2)+... = 0 gilt "offensichtlich" für alle ganzen Zahlen und ebenso für die geraden und ungeraden. smile
Oder ist doch (0+1)+(-1+2)+(-2+3)+...=1+1+1+... , da fehlt wohl doch noch eine Formel. Man sieht, dass es nicht so einfach ist, von endlichen Summen auf unendliche "Summen" zu schließen - das gilt schon für diese trivialen Dinge und ebenso für Primzahlen, für die du dich interessierst.
Primtime Auf diesen Beitrag antworten »
Addition von Primzahlen = Anzahl bis zum Quadrat
Jetzt steigt doch mal ab von eurem hohen Roß und zeigt einmal an einem konkreten Zahlenbeispiel was Ihr meint und gebt uns Unwissenden eine Chance eure Formelsprache zu verstehen.

Ich möchte konkret wissen, wie die Summe der geraden und ungeraden Zahlen bis 120.000 lautet.

Danke für Eure Mühe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Summe der geraden natürlichen Zahlen bis 120000 ist gleich 60000*60000+60000.
Summe der ungeraden natürlichen Zahlen bis 120000 ist gleich 60000*60000.
(Beide Summen hat HAL 9000 für n statt 60000 aufgeschrieben. Ist es wirklich zu schwer, n durch 60000 zu ersetzen?)
Die Summe der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen bis 120000 ist gleich 120000 *120001/2.
Primtime Auf diesen Beitrag antworten »
Addition von Primzahlen = Anzahl bis zum Quadrat
Hallo Elvis,
Das war doch einmal ein konstruktiver Beitrag. Danke dafür, Du hast mir geholfen eure Formelwelt ein wenig besser zu verstehen.

Liebe Grüße
Primtime
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Unsere Beiträge sind alle konstruktiv. Wenn du nach Formeln fragst, bekommst du Formeln, wenn du nach einem Beispiel fragst, bekommst du ein Beispiel.
In deiner Frage hast du gestern gesagt, dass du daraus etwas über die Addition von Primzahlen lernen kannst, aber das ist nicht möglich.

Zitat:
Original von Primtime
Um das Thema Addition von Primzahlen weiter zu verfolgen, benötige ich zwei Formeln, welche ich bisher nirgends finden konnte.

1.) wie berechnet man die Summe aller geraden Zahlen?

2.) wie berechnet man die Summe aller ungeraden Zahlen?


Wenn es so einfach wäre, hättest du ja schon aus kleinen Beispielen lernen können
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Primtime

Also wirklich: Einerseits die Mathematiker verunglimpfen, weil sie angeblich deine tollen Primzahlfunktion-Näherungen nicht würdigen wollen - aber andererseits jetzt vorgeben, eine primitive Formeln wie nicht zu verstehen - wie schräg bist du denn drauf? unglücklich
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