Gradient von Vektorfeldern

16.10.2023, 16:16	Stern456	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient von Vektorfeldern Meine Frage: Hallo, ich versuche, den Gradienten eines Vektorfeldes (mit drei Spalten/ Komponenten) zu berechnen. Bei einem Skalarfeld schreibt man ja dafür die partiellen Ableitungen nach x, y und z in einen Vektor. Meine Ideen: Muss ich bei einem Vektorfeld für jede Komponente extra die partiellen Ableitungen bilden, (sodass ich quasi drei Ergebnisvektoren habe) oder leite ich die erste Komponente nach x, die zweite nach y und die dritte nach z ab? Vielen Dank für eure Hilfe
16.10.2023, 16:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient von Vektorfeldern Die erste Option, man schreibt es allerdings in der Regel als eine Matrix.
20.10.2023, 09:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel: Sei $\begin{eqnarray} \vec v (\vec x_0) \end{eqnarray}$ ein Vektorfeld, das die Wingeschwindigkeit am Punkt $\begin{eqnarray} \vec x_ 0 \end{eqnarray}$ beschreibt. Dann ist $\begin{eqnarray} \vec v (\vec x_0+\vec x) \end{eqnarray}$ die Windgeschwindigkeit "in der Nähe" von $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ . Entwickelt man dies in einer Taylorreihe, erhält man $\begin{eqnarray} \vec v (\vec x_0+\vec x)=\vec v (\vec x_0)+\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial v_1}{\partial x_1} & \tfrac{\partial v_1}{\partial x_2} & \tfrac{\partial v_1}{\partial x_3} \\ \tfrac{\partial v_2}{\partial x_1} & \tfrac{\partial v_2}{\partial x_2} & \tfrac{\partial v_2}{\partial x_3} \\ \tfrac{\partial v_3}{\partial x_1} & \tfrac{\partial v_3}{\partial x_2} & \tfrac{\partial v_3}{\partial x_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{(\vec x \nabla) \vec v} + ... \end{eqnarray}$ Die Matrix ist der Gradient des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ . Für den letzten Summanden ist die Abkürzung $\begin{eqnarray} (\vec x \nabla) \vec v \end{eqnarray}$ üblich.

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