Ist Mathematik das gleiche wie Logik?

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KapitänZurSee Auf diesen Beitrag antworten »
Ist Mathematik das gleiche wie Logik?
Meine Frage:
Hallo liebe Mathematiker,

ich habe eine etwas seltsame Frage: und zwar, ist Mathematik das gleiche wie Logik? Falls ja, warum? Falls nein, was unterscheidet die Logik von der Mathematik?

Vielen Dank für eure Antworten!

Meine Ideen:
Im Internet habe ich gelesen, dass Mathematik und Logik das gleiche seien, was Gödel bewiesen hätte. Allerdings kann ich als Laie solche Aussagen nicht verifizieren.
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist Mathematik das gleiche wie Logik?
https://de.quora.com/Ist-Mathematik-das-Gleiche-wie-Logik

https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Logik
KapitänZurSee Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die beiden Links, hier wird allerdings genau das Gegenteil behauptet (de.quora.com/Ist-Logik-mehr-eine-mathematische-oder-philosophische-Disziplin), weshalb ich dachte, ich frage mal in einem Expertenforum.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Als Experte kann ich dir versichern, dass man Logik benötigt, um Mathematik zu machen, speziell in der Beweistheorie. Andererseits ist Logik ein echtes Teilgebiet der Mathematik, also nicht die ganze Mathematik.
In der Antike war Logik auch einmal ein Teil der Philosophie, später auch ein Teil der Psychologie, es hat sich dann aber in der Neuzeit nach gründlicher Erforschung der Logik durch Mathematiker herausgestellt, dass Mathematik am besten geeignet ist, die Logik zu behandeln.
KapitänZurSee Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für die Antwort!

So wie ich es dann sehe, ist dann aber die Behauptung, dass Logik und Mathematik komplett identisch sind (siehe mein Link weiter oben), als falsch anzusehen? Oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich schon sagte, ist die Logik ein echter Teil der Mathematik und nicht die ganze Mathematik. Daher ist es logisch, dass Logik und Mathematik nicht identisch sind. Also ist es logisch, dass die Aussage, Logik und Mathematik seien identisch, falsch ist.

Logisch nenne ich eine logische Schlußweise und eine aus Voraussetzungen hergeleitete Aussage dann, wenn ich sie nicht nur glaube sondern auch beweisen kann. Den Beweis habe ich bereits in normaler deutscher Sprache formuliert.

Beweis mit üblicher Aussagenlogik (die ich hier nicht definiere sondern nur benutze):
 
 
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist Mathematik das gleiche wie Logik?
Zitat:
Original von KapitänZurSee
Meine Frage:
Hallo liebe Mathematiker,

ich habe eine etwas seltsame Frage: und zwar, ist Mathematik das gleiche wie Logik? Falls ja, warum? Falls nein, was unterscheidet die Logik von der Mathematik?

Vielen Dank für eure Antworten!

Meine Ideen:
Im Internet habe ich gelesen, dass Mathematik und Logik das gleiche seien, was Gödel bewiesen hätte. Allerdings kann ich als Laie solche Aussagen nicht verifizieren.


Naja, Logik ist für mich primär eine philosophische Disziplin (da stimme ich mit "Elvis" wohl nicht ganz überein).
Was die "klassische Logik" angeht, die u.a. auf Aristoteles zurückführt, gibt es freilich Überschneidungen zur Mathematik, die das "logische Schließen" da formalisiert und axiomatisiert hat. Die Sätze dieser klassischen Logik, der Mathematik, in gewisser Weise als Grundlage unseres rationalen Denkens, sind immer und stets wahr oder falsch. Ein Satz, der im Sinne dieser mathematischen Logik wahr ist, wird es auch immer bleiben.
Aber diese Logik ist in gewisser Weise auch Konvention, vielleicht begründet auch durch unser Naturverständnis, das sich so entwickelt hat. Aber es ist durchaus möglich, dass diese Logik nicht hinreichend ist, um zB. Natuvorgänge in unseren mathematischen Modellen abzubilden. Es gibt Ansätze von Logik, philosophisch und erkenntniskritisch motiviert, die über diese "klassische Logik" hinausgehen, zB. die "temporale Logik" (https://de.wikipedia.org/wiki/Temporale_Logik ).
Man sollte so Logik nicht von "Gott geben" und in "Stein gemeißelt" betrachten, wenn auch die mathematische Logik bisher hinreichend ist, den Großteil an Erkenntnissen in Form logischer Schlüsse zu formalisieren.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht habe ich mich nicht deutlich genug ausgedrückt. Für die hier gestellte Frage habe ich mich zweckmäßigerweise der klassische Aussagenlogik bedient. Selbstverständlich gibt es, spätestens durch Gottlob Frege vorzüglich formalisiert, die Prädikatenlogik. Daneben und darüber hinaus gibt es viele weitere Logiken, die in der modernen Mathematik ausnahmslos durch formale Systeme axiomatisiert und definiert werden und seit Ende des 19. Jahrhunderts studiert werden. Die intuitionistische Logik z.B. erkennt das tertium non datur nicht an, so dass eine Aussage nicht notwendig wahr oder falsch ist. Eine Logik, die nicht mathematisch formalisierbar ist, haben auch die Philsosophen und Philologen und alle anderen Freunde der Weisheit nicht zu bieten. Deshalb behaupte ich, dass die Logik - als Gesamtheit aller logischen Systeme - ein Teilgebiet der Mathematik darstellt. Wer wie Ludwig Wittgenstein nur das Unsagbare für wichtig hält, kommt auch nicht wesentlich weiter, weil er nichts darüber sagen kann. Die Mysterien der Religionen sowie die Denksysteme der Erleuchteten und Schamanen würde ich nicht unbedingt als Logik bezeichnen wollen, aber wie man am Studium der Theologie seit tausenden von Jahren sehen kann, ist selbst dort der Versuch möglich, Dichtung und Wahrheit miteinander in Beziehung zu setzen. Auch diese Relationen lassen sich mathematisch fassen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag:

2019 habe ich anlässlich einer von einem Philosophen geplanten Kurzbiografie betreffend die Philosophie und Politik Bertrand Russells dessen mathematische Werke studiert, weil ich dazu einen Beitrag liefern sollte. Bertrand Russell war ein Vertreter der "Logizismus" genannten mathematischen Philosophie, die versucht hat, Mathematik vollständig auf Logik zu gründen; in diesem Zusammenhang ist auch sein Werk (zusammen mit Alfred North Whitehead) "Principia Mathematica" entstanden. Russells mathematisches Schaffen enthält m.E. grobe Fehler, und die Principia Mathematica halte ich für historisch interessant, ansonsten für ebenso überflüssig wie ungenießbar. Letztlich habe ich, auch aufgrund der Kritik von A.J.Ayer an Bertrand Russell, die Mitarbeit an dieser Biografie eingestellt.

2021 erschien der "Kalkülroman / Gentzen oder: betrunken aufräumen" von Dietmar Dath. Als Vorbereitung auf diese Lektüre habe ich über den Jahreswechsel 2022/2023 Gerhard Gentzen studiert (erhältlich über den Göttinger Digitalisierungsserver (GDZ))
1932 Über die Existenz unabhängiger Axiomensysteme zu unendlichen Satzsystemen
1935 Untersuchungen über das logische Schließen I (Kalkül des natürlichen Schließens, intuitinistische und klassische Prädikatenlogik)
1935 Untersuchungen über das logische Schließen II
1936 Widerspruchsfreiheit der endlichen Typentheorie
1936 Widerspruchsfreiheit der Arithmetik
1938 Neue Fassung des Widerspruchsfreiheitbeweises für die reine Zahlentheorie
1943 Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit in Anfangsfällen der transfiniten Induktion in der reinen Zahlentheorie

und dazu die Biografie von Eckart Menzler-Trott: "Gentzens Problem. Mathematische Logik im nationalsozialistischen Deutschland"

Sehr interessante Lektüre als Einführung in klassische Teile der Beweistheorie und deren Logik. Hat aber für den Roman nicht viel Nutzen gehabt, da dieser eher nicht zu den starken Büchern von Dietmar Dath gehört. Für Science Fiction Leser empfehle ich hingegen wärmstens Dietmar Dath "Niegeschichte" : https://www.matthes-seitz-berlin.de/buch/niegeschichte.html
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