Tautologie, Kontradiktion, erfüllbare Formel?

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MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »
Tautologie, Kontradiktion, erfüllbare Formel?
Liebe Forumsgemeinde,
ich überlege mir geradem wie bei der Aufgabe (siehe Anhang) eine Wahrheitstafel aufgestellt werden muss. Insbesondere ist mir nicht klar, ob, wenn hier z. B. "A" steht, ob dieses "A" selbst eine Tautologie ist oder nicht. Und was bedeutet A->B, soll das eine Abbildung oder eine Überführung von A nach B sein und wenn ja und "A" ist Tautologie, dann muss doch "B" auch Tautologie sein, oder?
Vielen Dank für Antwort.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

A, B, C sind Aussagen, die wahr (0) oder falsch (1) sein können. Stelle eine Wahrheitstafel auf.
Die Formel (A->B & B->C)<->A->C ist eine
- Tautologie, wenn sie für alle 8 Belegungen von A,B,C wahr ist
- eine Kontradiktion, wenn sie für alle 8 Belegungen von A,B,C falsch ist
- erfüllbar, wenn sie für mindestens eine Belegung von A,B,C wahr ist
(beachte, dass eine Tautologie stets eine erfüllbare Aussage ist)

A->B ist eine Subjunktion, für sie gilt die Wahrheitstafel

A B A->B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Die ersten beiden Zeilen nennt man "ex falso quodlibet", die letzten beiden Zeilen bedeuten "wenn, dann" (da verlässt mich mein nicht vorhandenes Latein).
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
A, B, C sind Aussagen, die wahr (0) oder falsch (1) sein können. Stelle eine Wahrheitstafel auf.
.

Danke Elvis, ich sehe das aber etwas anders, denn 0 ist ja Aus, also falsch und 1 ist An, also wahr.
Habe mal versucht das zu lösen, siehe Anhang. Kann man das so formulieren oder ist da ein Bock drin?
Danke für Antwort.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Elvis meint wohl eher eine solche Tabelle..

MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luftikus
Elvis meint wohl eher eine solche Tabelle.

Hallo und vielen Dank für deine Mühe.
Habe ich insofern verstanden, als du ja das Ergebnis einer Subjunktion so interpretierst, dass wenn nur ein Ergebnis wahr ist, die gesamte Subjunktion wahr ist, also kannst du bereits in den oberen Zeilen aufhören und musst nicht alle wahr-falsch Kombinationen beachten. Oder?
VG MMchen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Tabelle hat schon mal die richtige Form, weil bei 3 Aussagen A, B, C 8 verschiedene Zeilen auftreten. Weil die fragliche Aussage ganz rechts in der ersten Zeile wahr ist, kann sie keine Kontradiktion sein. Wenn alle Zeilen ganz rechts wahr sind, handelt es sich um eine Tautologie, wenn eine Zeile ganz rechts falsch ist, ist die Aussage erfüllbar aber keine Tautologie.
Um die ganze Wahrheit zu erfahren, muss man die Tabelle vollständig berechnen.
Nachtrag. wahr 0, falsch 1 war tatsächlich ein Tippfehler von mir, anders herum ist üblich und richtig. So habe ich es auch bei der Tabelle für die Subjunktion gemacht.
 
 
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
...um die ganze Wahrheit zu erfahren, muss man die Tabelle vollständig berechnen.

Habe ich mal gemacht, siehe Anhang. Ist das richtig oder ist da noch ein Bock drin?
Und wie ist das jetzt mit dem ? Zählt da als 1, als wahr oder falsch als wahr oder falsch, bzw. als wahr oder falsch?
Danke für Antwort.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In der Spalte ist die Hälfte aller Werte falsch - du hast dort einfach nur die Spalte kopiert. Ein ähnlicher Fehler war bereits in der letzten Tabelle deines Scans gestern 14:38 zu sehen. unglücklich

Richtig ist allenfalls, dass genau zwei Nullen in dieser Spalte zu finden sind - aber an anderen Stellen als bei dir.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist genau dann wahr, wenn wahr und wahr ist.
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
ist genau dann wahr, wenn wahr und wahr ist.

Und ist es jetzt richtig so nach den Verbesserungen gemäß Info von HAL9000? Also eine erfüllbare Bedingung und keine Tautologie.
Danke für Antwort.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einer kleinen symbolischen Änderung kann man es zur Tautologie machen: Ersetze durch .
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Mit einer kleinen symbolischen Änderung kann man es zur Tautologie machen: Ersetze durch .

Danke deiner Anmerkung entnehme ich, dass ich jetzt richtig liege. Und das mit der Änderung von<-> nach -> war ja nicht Teil der Aufgabe, macht mir die Angelegenheit aber verständlicher.
Eine Frage noch: Ist das nur reine Theorie oder gäbe es da ein konkretes Anwendungsbeispiel dafür?
VG MMchen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MMchen60
Eine Frage noch: Ist das nur reine Theorie oder gäbe es da ein konkretes Anwendungsbeispiel dafür?

Na zumindest die -Variante ist gang und gebe beim Beweisen:

"Wenn aus A B folgt, und aus B C, dann folgt aus A auch C."

Wer schon mal ein paar Beweise geführt hat, wird kaum da drum herum gekommen sein. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Moment mal, wir sind noch nicht ganz fertig. Die Frage war nicht, ob diese Konjunktion eine Tautologie ist, sondern ob eine Äquivalenz eine Tautologie ist. Siehe Luftikus Wahrheitstafel, hier fehlt uns noch die rechte Spalte. "Äquivalenz" heißt übrigens "Subjunktion von links nach rechts und Subjunktion von rechts nach links". Man könnte also noch zwei weitere Spalten einschieben und deren Konjunktion berechnen.

Zur Relevanz von Aussagenlogik und Wahrheitstafeln kann man noch sagen, dass daraus ein Fundament der modernen mathematischen Logik besteht. Ohne Aussagenlogik geht nicht viel, davor gab es nur die klassischen Syllogismen des Aristoteles und seiner Nachfolger, daneben und darüber hinaus gibt es noch ganze Welten neuer Logiken.
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Man könnte also noch zwei weitere Spalten einschieben und deren Konjunktion berechnen.


Bin jetzt etwas verwirrt. und was gtehört da hinein?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »



Dabei entspricht die letzte Spalte, die eine Konjunktion (UND=) von zwei Subjunktionen () enthält, der Aequivalenz () , die laut Aufgabe untersucht werden soll.
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Dabei entspricht die letzte Spalte, die eine Konjunktion (UND=) von zwei Subjunktionen () enthält, der Aequivalenz () , die laut Aufgabe untersucht werden soll.


Also eine erfüllbare Formel aber keine Tautologie. Richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt gelöst.
Übrigens ist die drittletzte Spalte eine Tautologie, das ist klar, wenn man ihre Bedeutung ausspricht: "Wenn B aus A und C aus B folgt, dann folgt C aus A". Eine Konjunktion einer Aussage X mit der Wahrheit hat immer den gleichen Wahrheitswert wie die Aussage X, deshalb sind die letzten beiden Spalten äquivalent.
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