Gruppen Beweis für x^2 = e

21.10.2023, 09:00

KonverDiv

Gruppen Beweis für x^2 = e

Hallo,

Sei $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe, sodass $\begin{eqnarray*} x^2 = e \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x*x = x^2 \end{eqnarray*}$ meint für alle $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ . Behauptung die Gruppe $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ ist abelsch.

Nach Definition müsste dann gelten $\begin{eqnarray*} x*y = y*x \end{eqnarray*}$ . Um dies zu zeigen, würde ich das etwa so angehen:

Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in G \end{eqnarray*}$ , dann ist
$\begin{eqnarray*} x*y = e*x*y*e = (y*y)*x*y*(x*x) = y*(y*x)*(y*x)*x = y*e*x = y*x \end{eqnarray*}$

Ist das als Beweis ok? verwirrt