Teilmengen

22.10.2023, 13:26

Evelyn2003

Teilmengen

Meine Aufgabe ist es zu zeigen das für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Beziehung $\begin{eqnarray*} C_1 \subset C_n \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ ist definiert als $\begin{eqnarray*} C_n := { x \in \mathbb{Q} : x \geq 3 + \frac{3n+1}{4n} } \end{eqnarray*}$

Die Definition einer Teilmenge ist ja $\begin{eqnarray*} C_1 \subset C_n \Rightarrow f(C_1) = { f(x) : x \in C_1 } \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das bitte zeigen? verwirrt

22.10.2023, 13:51

HAL 9000

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RE: Teilmengen

Zitat:

Original von Evelyn2003
$\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ ist definiert als $\begin{eqnarray*} C_n := { x \in \mathbb{Q} : x \geq 3 + \frac{3n+1}{4n} } \end{eqnarray*}$

In LaTeX wird das so geschrieben: $\begin{eqnarray*} C_n := \left\{ x \in \mathbb{Q} : x \geq 3 + \frac{3n+1}{4n} \right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Evelyn2003
Die Definition einer Teilmenge ist ja $\begin{eqnarray*} C_1 \subset C_n \Rightarrow f(C_1) = { f(x) : x \in C_1 } \end{eqnarray*}$

Das ist doch Unsinn. Teilmenge ist hier gleichbedeutend damit, dass aus $\begin{eqnarray*} x\in C_1 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x\in C_n \end{eqnarray*}$ folgt.

$\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ kann auch so geschrieben werden: $\begin{eqnarray*} C_n = \left[ 3.75 + \frac{1}{4n},\infty \right)\cap \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

22.10.2023, 14:05

Evelyn2003

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RE: Teilmengen

Zitat:

Original von HAL 9000
´

Zitat:

Original von Evelyn2003
Die Definition einer Teilmenge ist ja $\begin{eqnarray*} C_1 \subset C_n \Rightarrow f(C_1) = { f(x) : x \in C_1 } \end{eqnarray*}$

Vielen Dank, HAL! Doch wie zeige ich denn bitte nun das $\begin{eqnarray*} x \in C_1 \Rightarrow x \in C_n \end{eqnarray*}$ gilt?

$\begin{eqnarray*} C_1 = \left[ 3.75 + \frac{1}{4 \cdot 1},\infty \right) \cap \mathbb{Q} = \left[ 4 ,\infty \right) \cap \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

22.10.2023, 14:34

HAL 9000

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Für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 3.75+\frac{1}{4n}\leq 4 \end{eqnarray*}$ , damit ist $\begin{eqnarray*} \left[ 4,\infty\right)\subseteq \left[ 3.75+\frac{1}{4n},4\right)\cup \left[4,\infty\right) = \left[ 3.75+\frac{1}{4n},\infty\right) \end{eqnarray*}$ , wobei die Inklusioneigenschaft natürlich auch nach dem Schnitt beider mit jeweils $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ erhalten bleibt.

22.10.2023, 14:45

Evelyn2003

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Vielen Dank, HAL, nochmals! Von alleine wäre ich tatsächlich nicht darauf gekommen, auch wenn es jetzt so einfach aussieht. Wink

22.10.2023, 14:48

HAL 9000

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Es gilt sogar noch mehr hier, nämlich eine echte Mengenmonotonie $\begin{eqnarray*} C_n\subset C_{n+1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

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