Integration mit Wurzel und Betrag

22.10.2023, 16:10

Mandxx

Integration mit Wurzel und Betrag

Meine Frage:
Hallo,
ich möchte gerne die Funktion f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x| } } integrieren.

Meine Ideen:
Ich schaue mir das Integral für x>0 an: 2*\sqrt{x}

und das Integral für x<0: 2*\sqrt{-x}

Mit der Definition der Betragsfunktion gilt dann: f(x) = 2*\sqrt{|x|}

Diese Lösung stimmt jedoch nicht und macht auch keinen Sinn, da das Integral der achsensymmetrischen Funktion f(x) eigentlich punktsymmtrisch sein müsste, oder?

Könnte mir hier jemand einen Tipp geben bzw. auch erklären, warum meine Vorgangsweise nicht stimmt?

Danke im Voraus!

22.10.2023, 16:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mandxx
und das Integral für x<0: 2*\sqrt{-x}

Stimmt nicht: Für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ergibt die Integration $\begin{eqnarray*} -2\sqrt{-x}+C \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt ist also $\begin{eqnarray*} F(x) = 2\operatorname{sgn}(x)\cdot \sqrt{|x|} \end{eqnarray*}$ eine passende Stammfunktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ .

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