Kegelberechnung

22.10.2023, 18:10	Oweia	Auf diesen Beitrag antworten »
Kegelberechnung Meine Frage: Guten Abend in die Runde, bei folgender Aufgabe soll anhand einer Näherungsrechnung der Radius r und die Höhe h eines Kegels berechnet werden. Gegeben ist ein Kegel mir einem Volumen von 30 cm^3 und einer Mantellinie von 5 cm. Gesucht sind r und die h. Durch Näherung wird folgendes gerundetes Ergebnis gefunden: r = 2,55 cm und h = 4,3 cm Ich habe zusätzlich zu obigem Ergebnis noch ein 2. Ergebnis gefunden und wollte Euch fragen, ob das richtig ist, daß diese Aufgabe 2 Lösungen hat? Hat die Aufgabe evtl. sogar noch mehr als 2 Lösungen? Meine Ideen: Meine 2. Lösung lautet (gerundete Werte): r = 4,8 cm und h = 1,25 cm Stimmt meine Lösung oder habe ich einen Fehler gemacht? Vielen Dank im Vorraus!
22.10.2023, 19:12	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegelberechnung Wie jede anständige Gleichung sechsten Grades hat auch diese sechs Lösungen. Zwei sind allerdings imaginär, zwei negativ. So bleiben Deine zwei korrekten Lösungen übrig. Viele Grüße Steffen
22.10.2023, 19:44	Ohweia	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegelberechnung Hallo Steffen, vielen Dank für Deine Hilfe Schönen Abend
23.10.2023, 07:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso eigentlich Gleichung sechsten Grades? Es ist $\begin{eqnarray} s^2=r^2+h^2 \end{eqnarray}$ , damit kann man $\begin{eqnarray} r^2=s^2-h^2 \end{eqnarray}$ in die Volumenformel $\begin{eqnarray} V = \frac{\pi}{3}r^2h \end{eqnarray}$ einsetzen und erhält auf diese Weise eine Gleichung dritten Grades für $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h^3 - s^2h + \frac{3V}{\pi} = 0 \end{eqnarray}$ . Und die hat in der vorliegenden Parameterkonstellation V,s drei reelle Lösungen - zwei positive und eine negative (letztere macht natürlich keinen Sinn hier).
23.10.2023, 07:27	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte $\begin{eqnarray} s^2=r^2+h^2 \to h = \sqrt{s^2-r^2} \end{eqnarray}$ gerechnet und dann $\begin{eqnarray} V = \frac{\pi}{3}r^2 \cdot \sqrt{s^2-r^2} \to V^2 = \frac{\pi^2}{3^2}r^4 \cdot (s^2-r^2) = \frac{\pi^2}{3^2} \cdot (r^4s^2-r^6) \end{eqnarray}$ Hab mir eventuell ein paar Scheinlösungen eingefangen...
23.10.2023, 07:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Lösungsanzahl noch ein paar Gedanken: Bei fester Mantelliniengröße $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ kann man das Volumen als Funktion der Höhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ betrachten, wie oben geschehen: $\begin{eqnarray} V = V(h) = \frac{\pi}{3} (s^2-h^2)h \end{eqnarray}$ Klar ist $\begin{eqnarray} V(0)=0 \end{eqnarray}$ und ebenfalls $\begin{eqnarray} V(s)=0 \end{eqnarray}$ . Wie eine kurze Extremwertrechnung zeigt, liegt dazwischen bei $\begin{eqnarray} h_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{3}s \end{eqnarray}$ ein Volumenmaxium vor, und zwar $\begin{eqnarray} V_{\max} = V\left(h_{\max}\right) = \frac{2\sqrt{3}\pi}{27}s^3 \approx 50.38 \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} s=5 \end{eqnarray}$ . Für kleinere Volumina (wie z.B. 30) gibt es dann eben zwei Lösungen $\begin{eqnarray} h_1,h_2 \end{eqnarray}$ - eine kleiner als $\begin{eqnarray} h_{\max} \end{eqnarray}$ und die andere größer als $\begin{eqnarray} h_{\max} \end{eqnarray}$ .
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