Gleichheit zweier Ausdrücke mit Abrundungsklammern

23.10.2023, 10:24

Malcang

Gleichheit zweier Ausdrücke mit Abrundungsklammern

Da bin ich mal wieder smile

Es geht eigentlich immernoch um diesen Thread, aber meine Frage ist losgelöst von dem Thema.

ich möchte zeigen, dass folgende Gleichheit gilt.
Sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl. Dann ist $\begin{eqnarray*} \lfloor \log_4(n) + 1 \rfloor = \lfloor \frac{\lfloor\log_2(n) \rfloor+2}{2}\rfloor. \end{eqnarray*}$

Nun, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Zweierpotenz ist, also $\begin{eqnarray*} n = 2^k \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , dann ist
$\begin{eqnarray*} \lfloor \log_4(2^k) + 1 \rfloor = \lfloor \frac{k}{2}+1\rfloor \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \lfloor \frac{\lfloor\log_2(2^k) \rfloor+2}{2}\rfloor = \lfloor \frac{\lfloor k \rfloor + 2}{2} \rfloor = \lfloor \frac{k}{2} + 1 \rfloor. \end{eqnarray*}$

Aber ich stecke fest, falls $\begin{eqnarray*} n = 2^k + c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<c<2^k \end{eqnarray*}$ verwirrt

Könnt ihr mir helfen?

23.10.2023, 10:57

HAL 9000

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Für $\begin{eqnarray*} 4^k\leq n < 4^{k+1} \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} 2k \leq \log_2(n) < 2k+2 \end{eqnarray*}$ , und damit $\begin{eqnarray*} \left\lfloor \log_2(n)\right\rfloor \in \{2k, 2k+1\} \end{eqnarray*}$ , sowie

$\begin{eqnarray*} k \leq \log_4(n) = \frac{1}{2}\log_2(n) < k+1 \end{eqnarray*}$ , und damit $\begin{eqnarray*} \left\lfloor \log_4(n)+1\right\rfloor = k+1 \end{eqnarray*}$ .

Zusammen mit $\begin{eqnarray*} \left\lfloor \frac{2k+2}{2}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{2k+3}{2}\right\rfloor = k+1 \end{eqnarray*}$ ist doch dann alles geklärt.

EDIT: Log-Argumente vom falschen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ins richtige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ geändert.

23.10.2023, 13:27

Malcang

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Vielen Dank, HAL, das hat es sofort erklärt! Freude

Ich denke, es soll

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} 2k \leq \log_2(n) < 2k+2 \end{eqnarray*}$ , und damit $\begin{eqnarray*} \left\lfloor \log_2(n)\right\rfloor \in \{2k, 2k+1\} \end{eqnarray*}$ , sowie
$\begin{eqnarray*} k \leq \log_4(n) = \frac{1}{2}\log_2(k) < k+1 \end{eqnarray*}$ , und damit $\begin{eqnarray*} \left\lfloor \log_4(n)+1\right\rfloor = k+1 \end{eqnarray*}$

heißen? (Habe das Argument in den logs ersetzt. Warum kann ich keine Farbe in latex setzen?)

23.10.2023, 15:29

nichteuerernst

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ich dachte, \frac{\red{a}}{\green{b}} funktioniert. Tut es aber hier nicht.

23.10.2023, 15:44

HAL 9000

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Äh ja, alle Log-Argumente sollen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sein. Muss wohl mal Pause machen. Augenzwinkern

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