Gleichung mit Betrag lösen

23.10.2023, 12:26

Mathy_

Gleichung mit Betrag lösen

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage zur folgenden Gleichung: $\begin{eqnarray*} \frac{y}{\sqrt{|y|} }=x \end{eqnarray*}$

Edit (mY): LaTeX berichtigt (Tags eingefügt)

Ich möchte nach y lösen.

Meine Ideen:
Ich schaue mir y>0 an und erhalte als Lösung x^2

Ich schaue mir y<0 an und erhalte -x^2 als Lösung.

Mache ich nun aber die Probe, stimmt die Gleichung für -x^2 nicht, weil ich -x=x erhalte.

Kann mit hier jemand weiterhelfen?

Danke schon mal!

23.10.2023, 12:41

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist gegeben, $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gesucht - es macht also wenig Sinn, die Fallunterscheidung nach der gesuchten Größe zu konstruieren.

Quadrierung ergibt die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{|y|} = |y| = x^2 \end{eqnarray*}$ , Andererseits ergibt die Originalgleichung, dass $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ dasselbe Vorzeichen wie $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufweisen muss.

Damit bleibt nur $\begin{eqnarray*} y=x\cdot |x| \end{eqnarray*}$ als einzige mögliche reelle Lösung, gültig für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gibt es keine Lösung.

Zitat:

Original von Mathy_
Mache ich nun aber die Probe, stimmt die Gleichung für -x^2 nicht, weil ich -x=x erhalte.

Im Fall $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ stimmt die Probe auch für $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ nicht. unglücklich

23.10.2023, 18:48

Mathy_

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Danke für die Antwort, ich verstehe sie jedoch leider nicht ganz! Ich habe die Fallunterscheidung gemacht, um den Betrag aufzulösen. Da der Betrag von y vorhanden ist, habe ich y für y<0 und für y>0 betrachtet und entsprechend nach y umgeformt:

Für y>0 also:

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{\sqrt{y} } = x \Rightarrow \sqrt{y} = x \Rightarrow y=x^2 \end{eqnarray*}$

Und für $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung ja auch erfüllt, denn:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{\sqrt{|x^2|} } = \frac{x^2}{x} =x \end{eqnarray*}$

23.10.2023, 19:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathy_
Und für $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung ja auch erfüllt, denn:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{\sqrt{|x^2|} } = \frac{x^2}{x} =x \end{eqnarray*}$

Du hörst einfach nicht zu - diese Rechnung stimmt NICHT für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ : Tatsächlich gilt in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \sqrt{|x|^2} = |x| = -x \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Von mir aus machen wir es ganz konkret: Betrachten wir $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ , dann behauptest du allen Ernstes, dass $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ eine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{y}{\sqrt{|y|}} = -1 \end{eqnarray*}$ ist??? Na dann mach doch mal die Probe!

30.10.2023, 00:04

SC/MP

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Schulmathematik | Algebra | Gleichung mit Betrag lösen
Zusammenfassung

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{\sqrt{|y|} }=x \end{eqnarray*}$

soll nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gelöst werden. Beide Seiten der Gleichung quadrieren.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{y}{\sqrt{|y|} }\right)^2=x^2 \end{eqnarray*}$

Vereinfachen

$\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{|y|}=x^2 \end{eqnarray*}$

Unterscheidung der Fälle

$\begin{eqnarray*} 1.)\,\frac{(-1)^2}{|-1|} = +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.)\,\frac{(+1)^2}{|+1|} = +1 \end{eqnarray*}$

Es gilt also

$\begin{eqnarray*} |y| = x^2 \end{eqnarray*}$

und somit gilt nach dem Ziehen der Quadratwurzel die neue Ausgangsgleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{|y|} = x \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung könnte man nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ umstellen.

verwirrt

30.10.2023, 14:09

HAL 9000

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Hmm, jetzt hast du das für alle reellen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ geltende $\begin{eqnarray*} y^2 = |y|^2 \end{eqnarray*}$ , was zumindest für alle $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{|y|} = |y| \end{eqnarray*}$ umstellbar ist, auf sehr viele Zeilen ausgewalzt. Augenzwinkern

Ich komm nochmal darauf zurück:

Zitat:

Original von HAL 9000
Quadrierung ergibt die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{|y|} = |y| = x^2 \end{eqnarray*}$ , Andererseits ergibt die Originalgleichung, dass $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ dasselbe Vorzeichen wie $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufweisen muss.

Letzteres berücksichtigend kommt man zur Lösung $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y=-x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ . Und wenn man da ein bisschen drüber nachdenkt, kann man das geschlossen schreiben $\begin{eqnarray*} y= x\cdot |x| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

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