Lipschitzbedingung

25.10.2023, 14:35

Ichmöchtelernen

Lipschitzbedingung

Testen Sie die folgende Funktionen f_i: R^2 -> R auf lokale und globale Lipschitzbedingungen im Sinne des Existenztheorems! Was sollte man jeweils erwarten für die Existenz von Lösungen u: I -> R von u'(x) = f(x, u(x)) für alle x element I für gegebene Anfangswerte an x = 1 ? Welche Abschätzung an die Länge von I kann man jeweils geben ?

1. $\begin{eqnarray*} f_1(x,y) := y+arctan(y)*arctan(x) -x^2+1 \end{eqnarray*}$ für alle x,y element R

Ich habe leider keine Idee. Ich wollte anfangs die partiellen Ableitungen bilden, aber inwiefern bringen die mich weiter.

Bin dankbar für jeden Tipp und jede Hilfe.

25.10.2023, 15:06

HAL 9000

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Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial y} = 1 + \frac{\arctan(x)}{y^2+1} \end{eqnarray*}$ .

Hinreichend für die Gültigkeit einer globale Lipschitzbedingung wäre, wenn diese partielle Ableitung beschränkt ist, und zwar über alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ betrachtet. Ist das der Fall?

25.10.2023, 15:16

Ichmöchtelernen

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Ich würde ja sagen, da $\begin{eqnarray*} arctan(x) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist auf $\begin{eqnarray*} [-pi/2 | pi/2] \end{eqnarray*}$ und der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{ <br /> 1 }{(1+y^2)} \end{eqnarray*}$ ist auf [0,1] beschränkt.

25.10.2023, 15:51

HAL 9000

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Richtig. Man könnte damit beispielsweise großzügig abschätzen $\begin{eqnarray*} \left| \frac{\partial f_1}{\partial y}\right| \leq 1 + \left| \frac{\arctan(x)}{y^2+1}\right| \leq 1 + \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

25.10.2023, 15:58

Ichmöchtelernen

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Verstehe, somit lässt man $\begin{eqnarray*} \left| \frac{\arctan(x)}{y^2+1}\right| \leq 1 + \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ maximal werden und das ist nur der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} arctan(x)=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} y^2+1=0 \end{eqnarray*}$ ist. Wäre das aber schon die Lösung für "Was sollte man jeweils erwarten für die Existenz von Lösungen u: I -> R von u'(x) = f(x, u(x)) für alle x element I für gegebene Anfangswerte an x = 1 ?". Oder muss ich jetzt erstmal für x die 1 einsetzen, also in die partielle Ableitung und dann gucken, ob es beschränkt ist ?

25.10.2023, 16:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ichmöchtelernen
wenn $\begin{eqnarray*} arctan(x)=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Kommt für endliche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht vor, erst im Grenzwert $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Ichmöchtelernen
und $\begin{eqnarray*} y^2+1=0 \end{eqnarray*}$

Tippfehler - sicher meinst du $\begin{eqnarray*} y^2+1=1 \end{eqnarray*}$ , was für $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Es steht in der Aufgabenstellung auch eine Frage zum Definitionsintervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ der Lösung:

Wir haben hier bei $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ globale Lipschitz-Stetigkeit vorliegen, d.h. ohne jede Einschränkung an $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . D.h., es gibt auch keine einschränkenden Forderungen an Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , es ist demnach $\begin{eqnarray*} I=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ möglich.

25.10.2023, 16:31

Ichmöchtelernen

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Verstehe und das lässt dann auch den Schluss zu für die lokale Lipschitz-Stetigkeit, da es sogesehen global auf ganz R lipschitz stetig ist, schließt das das auch mit ein. Richtig ? Also sogesehen, egal welchen Intervall man nehmen würde, es ist immer lipschitz stetig.

"Welche Abschätzung an die Länge von I kann man jeweils geben ?"

Und das war die Abschätzung, die du vorgeschlagen hattest. Richtig ? Also da wo ich meinen Tippfehler hatte.

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