Extra Operator

27.10.2023, 08:05	punktlandung3	Auf diesen Beitrag antworten »
Extra Operator Meine Frage: Hallo, kann mir jemand sagen, was dieser Operator f ° h zu f(x) und h(x) genau bedeutet? In "höhere Mathematik" wurde der Operator indirekt als Hintereinanderausführung der beiden Funktionen beschrieben, also f(h(x)). Aber dann tauchen auch solche Sachen wie (f°g)°h auf, die dem doch widersprechen!? Was ist das oder wo kann ich finden was dieses Zeichen bedeutet, und was ist die Motivation gewesen, anstelle Klammern zu verwenden? Meine Ideen: Das Zeichen wird auch im Zusammenhang mit Mengen und Relationen, bspw. der Menge A B und C, den Relationen A~B und B~C und dann dem "Relationsprodukt A~B°B~C" verwendet. Also namentlich als Produkt, was der Definition des Operators nicht hilfreich ist. Denn ein Produkt ist auf Zahlen und Mengen eindeutig erklärt.
27.10.2023, 09:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Verknüpfung oder Hintereinanderausfuehrung $\begin{eqnarray} f\circ g \end{eqnarray}$ bezieht sich direkt auf Funktionen und nicht auf Funktionswerte $\begin{eqnarray} f(x), g(x) \end{eqnarray}$ . Man darf sie keinesfalls mit dem punktweisen Produkt $\begin{eqnarray} (f\cdot g) (x) =f(x) \cdot g(x) \end{eqnarray}$ verwechseln, und sollte sie deshalb auch nicht Produkt nennen. Die mehrfache Verknüpfung $\begin{eqnarray} f\circ g\circ h \end{eqnarray}$ ist definiert als $\begin{eqnarray} (f\circ g\circ h) (x) =f(g(h(x))) \end{eqnarray}$ und ist offensichtlich assoziativ, aber nicht kommutativ.
27.10.2023, 19:44	punktlandung3	Auf diesen Beitrag antworten »
Und " (f°g)°h " bedeutet dann $\begin{eqnarray} (f(g()))(h(x)) \end{eqnarray}$ ?? Eine bijektive Funktion f(x) mit Definitionsmenge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und Bildmenge $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ besitzt ein Linksinverses $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ (Umkehrfunktion) und ein Rechtsinverses $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ ; es gelten also $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ ° $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} id_{A} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ° $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} id_{B} \end{eqnarray}$ . Und wegen $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} id_{A} \end{eqnarray}$ ° $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ = ( $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ ° $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ )° $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ °( $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ° $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ ) = $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ ° $\begin{eqnarray} id_{B} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ sind Umkehrfunktion und eigentliche Funktion bijektiv.
27.10.2023, 20:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wirkung von $\begin{eqnarray} f\circ g\circ h \end{eqnarray}$ auf x habe ich dir schon aufgeschrieben. Lesen und verstehen musst du. Was du daraus gemacht hast ist sinnlos. Der Rest ist korrekt und benutzt die Assoziativitaet der Operation. Warum die Umkehrfunktion deswegen bijektiv ist, sehe ich nicht. Für f wird bijektiv vorausgesetzt, ist also auch keine Folgerung.
28.10.2023, 19:17	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel: Gegeben seien die beiden Funktionen f(x)=sin(x) und h(x)=x³. Dann versteht man unter foh die Verknüpfung beider Funktionen gemäß foh=sin(x³). Offenbar ist sin(x) die "äußere" Funktion ist und x³ die "innere" Funktion. Ändert man die Reihenfolge, erhält man die Verknüpfung hof=[sin(x)]³. Hier ist x³ die äußere Funktion und sin(x) die innere Funktion

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »