Kreuzprodukt - Berechnungsprozess und geometrischer Zusammenhang

27.10.2023, 12:50

Jotta

Kreuzprodukt - Berechnungsprozess und geometrischer Zusammenhang

Ich betrachte das Kreuzprodukt:

Die gängige Berechnung in R3:

y1z2 - z1y2 = xkreuz
z1x2 - x1z2 = ykreuz
x1y2 - y1x2 = zkreuz

Ich sehe das Muster, dass die Differenz der Komponentenprodukte aus 2 Dimensionen, die Komponente der jeweils unbeteiligten Dimension des Kreuzprodukts erzeugt.

Wie entsteht dadurch ein Vektor?

Jede Komponente der Ebenenvektoren stellt eine Verschiebung im Raum dar, weshalb wird die Differenz der Produkte aus den Verschiebungen ein Vektor, dessen Betrag den Flächeninhalt des Parallelogramms zwischen den beiden Vektorlängen widerspiegelt?

27.10.2023, 14:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jotta
Wie entsteht dadurch ein Vektor?

Du fragst ernsthaft, wie du aus den drei gegebenen Komponenten den Vektor zusammenbaust? verwirrt

27.10.2023, 14:05

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kreuzprodukt - Berechnungsprozess und geometrischer Zusammenhang

Zitat:

Original von Jotta
y1z2 - z1y2 = xkreuz
z1x2 - x1z2 = ykreuz
x1y2 - y1x2 = zkreuz

Wie entsteht dadurch ein Vektor?

Daraus entsteht nicht ein Vektor. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_x \\ y_x \\ z_x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor, weil jeder Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ 3 reelle Komponenten hat.

Zur Frage der Geometrie gibt es einfache Erklärungen bei Wiki: https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

28.10.2023, 01:26

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder auch hier im Forum (es gibt da zahlreiche weitere Informationen, die man mit der Boardsuche erreichen kann!)

->> Kreuzprodukt

Insbesondere (be)trifft es die Passage

Zitat:

Das Kreuzprodukt ist der Wert einer dreireihigen Determinante, die aus den beiden gegebenen (Spalten-)Vektoren und der Spalte der drei Einheitsvektoren des Koordinatensystems $\begin{eqnarray*} \frak i, \ \frak j, \ \frak k \end{eqnarray*}$ gebildet wird:

$\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \frak i \\ a_2 & b_2 & \frak j \\ a_3 & b_3 & \frak k \end{vmatrix} = \frak i \cdot \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} - \frak j \cdot \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} + \frak k \cdot \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinante wird dann nach den Elementen der dritten Spalte entwickelt!
Wegen der Darstellung mittels der Einheitsvektoren ist das Ergebnis wiederum ein Vektor.

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Kreuzprodukt - Berechnungsprozess und geometrischer Zusammenhang

Verwandte Themen