Dreieck und Strahlensatz

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Catrin von Bubi Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieck und Strahlensatz
Meine Frage:


Liebe Forumsmitglieder!
Ich bin im R^2.
Ich habe ein Dreieck ABC und einen Punkt M der auf der Strecke AB so liegt, dass AM und BM gleichlang sind.
Ich habe folgende Bogenmaße gegeben:
- des Winkels BAC: ?/6
- des Winkels BMC: ?/4
Ich möchte zeigen, dass das Bogenmaß des Winkels CBA 7?/12 beträgt.





Meine Ideen:
Ich habe zunächst über den Nebenwinkelsatz errechnet, dass das Bogenmaß des Winkels BMC 3?/4 beträgt. Über den Winkelsummensatz ergibt sich dann das Bogenmaß des Winkels MCA: ?/12.
Die Länge der Strecke CM ergibt sich aufgrund des Sinussatzes als Produkt aus der Länge der Strecke AM mit dem Quotienten aus sin ?/6 (=0,5) und sin ?/12. Ich habe nun mit dem Kosinussatz und auch mit dem Sinussatz weitergerechnet, aber ich komme auf nichts Vernünftiges.
Deshalb bitte ich herzlich um Hilfe
VG Catrin von Bubi
Catrin von Bubi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreieck und Strahlensatz
Entschuldigung: die Fragezeichen sind jeweils ein Pi
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sei die Höhe auf . Da Mittelpunkt von ist, gilt dann



umgestellt .

Damit ist .

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Es gibt auch eine schöne elementargeometrische Lösung. Als Vorbereitung stelle ich schon mal eine passende Skizze ein:

[attach]57335[/attach]

Hierbei ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks .
Catrin von Bubi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,
danke dass auf dich immer Verlass ist. Das Problem ist, dass wir bislang keine Höhen eingeführt haben, ebenso keine Mittelsenkrechten, keinen Umkreismittelpunkt als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Wir haben bislang
- Kosinussatz
- Satz des Pythagoras
- Sinussatz
- Nebenwinkelsatz
- Stufenwinkelsatz
- Winkelsummensatz
- Außenwinkelsatz
- Basiswinkelsatz
- WSW, SSW,
- Kreis: Geraden am/im Kreis,
- Satz des Thales
- Peripheriewinkelsatz
- Satz vom Sehnentangentenwinkel
Das ist mein Problem. Weißt du Rat?
VG, Catrin von Bubi
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, an der elementargeometrischen Lösung bist du nicht interessiert. Schade, aber das sind wohl die Auswüchse der Geometriefeindlichkeit des heutigen Schulmathematik-Unterrichts.

Aber dass du die Lösung über die Höhe nicht akzeptieren willst, ist schon ziemlich krank - schließlich basiert die lediglich auf der Kotangensdefinition . Und die ist grundlegender als Sinus- oder Kosinussatz. unglücklich
Catrin von Bubi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin an der elementargeometrischen Lösung sehr interessiert und muss aber leider darauf hinweisen, dass wir nur all das zur Beweisführung verwenden dürfen, was bereits Vorlesungsinhalt war. Deshalb meine Auflistung. Kannst du mir diese Lösung bitte notieren - vielleicht kann ich es ja verwenden.
Dein erster Lösungsvorschlag begeistert mich, aber ich fürchte, dass er aus beschriebenem Punkt von meinem Prof nicht als Lösung anerkannt wird.
 
 
Catrin von Bubi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mich freuen, wenn du mir den ersten Lösungsvorschlag genauer erklären könntest, damit ich alles nachvollziehen kann. Danke und viele Grüße
Catrin von Bubi Auf diesen Beitrag antworten »

Den ersten Beweis habe ich mir veranschaulicht und verstehe alles außer die Umformung, bei der du cot(Pi - beta) auflöst. Welche Regel hast du genutzt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Definition im Einheitskreis sollte die Regel eigentlich klar sein. Von mir aus kannst du es auch mit den bekannteren sowie begründen.


Zur elementargeometrischen Lösung:

Da habe ich mich etwas umentschieden - ist jetzt nicht als Umkreismittelpunkt definiert, sondern als jener Punkt auf der Mittelsenkrechte von , für den gilt. Anschließend zeichne man den Kreis mit Mittelpunkt und Radius . Schließlich sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von mit . Da diese Winkelhalbierende zugleich Mittelsenkrechte von ist, gilt , damit ist ein gleichseitiges Dreieck. Außerdem gilt dann sowie aufgrund des Kreiswinkelsatzes . Das sind genau die beiden gegebenen Winkel, daher muss sein, d.h. der dritte noch fehlende Eckpunkt unseres Dreiecks. Speziell folgt dann .
Catrin von Bubi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, lieber HAL 9000. Ich habe mich für den Beweis mit der Höhe entschieden und den Begriff vermieden. Bin außerdem über den Tangens gegangen (cotangens verwenden wir nicht unglücklich ). Damit hat alles gut geklappt. Ein wirklich schöner Beweis. Deinen zweiten Beweis hebe ich mir auf für meine spätere Zeit als Lehrer auf - der ist sehr raffiniert.
Nochmals vielen Dank und ein schönes langes Wochenende
Catrin von Bubi
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