Topologischer Raum

27.10.2023, 17:12

Mathenoob111

Topologischer Raum

Meine Frage:
Aufgabe (Zeigen Sie dass eine Topologie gegeben ist) im Anhang

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich die 3 topologischen Eigenschaften nachrechnen muss und es ist für mich klar dass das gegebene Mengensystem bei a) diese erfüllen muss (Leere Menge sowie A muss trivialerweise in dem Mengensystem enthalten sein etc)

Ich bin mir aber leider komplett unsicher wie ich das am besten mathematisch aufschreibe

27.10.2023, 17:34

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RE: Topologischer Raum
Dann schreibe es doch nicht mathematisch auf, wenn es dir klar ist.

27.10.2023, 18:08

Mathenoob111

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RE: Topologischer Raum
Besser gesagt weiß ich nicht wie ich es mathematisch begründen muss
Es wird ja nicht reichen zu sagen: Da das mengensystem durch den Schnitt einer Teilmenge von X (A) mit dem mengensystem Ox des topologischen Raums entsteht muss dieses die topologischen Eigenschaften ebenfalls erfüllen

27.10.2023, 18:16

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RE: Topologischer Raum
Darauf muss ich nochmal herumreiten:

Zitat:

es ist für mich klar dass das gegebene Mengensystem bei a) diese erfüllen muss (Leere Menge sowie A muss trivialerweise in dem Mengensystem enthalten sein etc)

Dann sag doch mal, warum es dir klar ist. Wie begründest du es denn für dich? Mathematisch oder umgangssprachlich ist egal.

Wenn du keine Lust auf Selbstreflektion hast: Wenn du zeigen willst, dass die leere Menge in $\begin{eqnarray*} \{A\cap O | O \in {\cal O_X}\} \end{eqnarray*}$ ist, musst du eine Menge $\begin{eqnarray*} O \in {\cal O_X} \end{eqnarray*}$ finden, für die $\begin{eqnarray*} A\cap O = \emptyset \end{eqnarray*}$ gilt.

27.10.2023, 18:39

Mathenoob111

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RE: Topologischer Raum
A geschnitten mit der leeren Menge?

A muss im System enthalten sein, da das System ja schnittmengen mit A enthält
Zweite Eigenschaft: der Schnitt zweier Mengen des Systems muss dessen Eigenschaft auch erfüllen da es ja alle Mengen A geschnitten O enthält, somit auch so eine kleinere schnittmenge
Und das gleiche dachte ich muss auch für eine beliebte Anzahl an Vereinigungen gelten

27.10.2023, 18:51

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RE: Topologischer Raum

Zitat:

A geschnitten mit der leeren Menge?

Richtig. Warum ist die leere Menge in $\begin{eqnarray*} {\cal O}_X \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

A muss im System enthalten sein, da das System ja schnittmengen mit A enthält

Diese Schnittmengen könnten aber doch alle echte Teilmengen von A sein. Da fehlt noch eine Begründung, warum das nicht sein kann. Also für welches $\begin{eqnarray*} O\in {\cal O}_X \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A\cap O=A \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Zweite Eigenschaft: der Schnitt zweier Mengen des Systems muss dessen Eigenschaft auch erfüllen da es ja alle Mengen A geschnitten O enthält, somit auch so eine kleinere schnittmenge

Die Frage ist aber, warum man so eine kleinere Schnittmenge in der Form $\begin{eqnarray*} A\cap O \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} O\in {\cal O}_X \end{eqnarray*}$ schreiben kann.

Zitat:

Und das gleiche dachte ich muss auch für eine beliebte Anzahl an Vereinigungen gelten

Auch hier stellt sich die Frage, warum man die Vereinigung wie oben schreiben kann.

Die Distributivgesetze für Vereinigung und Durchschnitt helfen weiter.

27.10.2023, 20:09

Mathenoob111

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RE: Topologischer Raum
Ich dachte weil die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist

Müsste das dann nicht O=A bzw O obermenge von A sein? Aber warum muss A dann in Ox sein? Was anderes als weil A Teilmenge von X ist und Ox Teilmengen von X enthält fällt mir nicht ein

Vielleicht weil man (A1 Schnitt O1) Schnitt (A2 Schnitt O2) zu A3 Schnitt O3 zusammenfassen könnte? Das wäre ja nicht das distributivgesetz aber was anderes sehe ich grade nicht

27.10.2023, 20:18

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RE: Topologischer Raum

Zitat:

Ich dachte weil die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist

Das ist zwar richtig, nützt dir hier aber genau nichts. Die leere Menge ist ein Element von $\begin{eqnarray*} {\cal O}_X \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} {\cal O}_X \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung eine Topologie ist.

Zitat:

Müsste das dann nicht O=A bzw O obermenge von A sein? Aber warum muss A dann in Ox sein?

Muss es eben nicht sein. Man braucht eine Obermenge von A, die auch noch ein Element der Topologie $\begin{eqnarray*} {\cal O}_X \end{eqnarray*}$ ist. Ein Blick in die Aufgabenstellung verrät dir, um welche Menge es sich handelt.

Zitat:

Vielleicht weil man (A1 Schnitt O1) Schnitt (A2 Schnitt O2) zu A3 Schnitt O3 zusammenfassen könnte? Das wäre ja nicht das distributivgesetz aber was anderes sehe ich grade nicht

Was willst du mit A1,A2,A3?
Das ist schon das Distributivgesetz $\begin{eqnarray*} (A\cap O_1)\cap(A\cap O_2)=A\cap(O_1\cap O_2) \end{eqnarray*}$ Jetzt fehlt nur noch die Begründung, warum mit $\begin{eqnarray*} O_1,O_2 \in {\cal O}_X \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} O_1 \cap O_2 \in {\cal O}_X \end{eqnarray*}$ gilt.

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