Wann ist eine Proth'sche Zahl ein Quadrat?

29.10.2023, 10:01	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann ist eine Proth'sche Zahl ein Quadrat? Hallo mal wieder Diesmal beschäftigt mich die Frage, wann eine Proth'sche Zahl ( $\begin{eqnarray} h\cdot 2^k +1, h<2^k \end{eqnarray}$ ungerade )ein Quadrat ist. In diesem Paper (Lemma 3.1) ist nur ein sehr kurzer Beweis, ich würde ihn gerne mehr analytischer führen. Mein Ansatz: Sei $\begin{eqnarray} h\cdot 2^k + 1 = q^2 \end{eqnarray}$ für ein natürliches $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} h\cdot 2^k = q^2-1=(q+1)(q-1). \end{eqnarray}$ Nun ist die linke Seite natürlich gerade und damit sind $\begin{eqnarray} q+1 \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} q-1 \end{eqnarray}$ beide gerade und haben außerdem eine Differenz von 2. Damit ist einer der beiden kongruent zu 2 modulo 4 und daher genau einmal durch 2 teilbar. Der andere ist dann $\begin{eqnarray} 2^{k-1} \end{eqnarray}$ mal durch 2 teilbar. Mehr konnte ich leider nicht ersehen bisher Edit: Das scheint auf den Fall $\begin{eqnarray} q-1=2^{k-1} \text{ oder } q+1=2^{k-1} \end{eqnarray}$ hinauszulaufen. Für die Fälle konnte ich das auch zeigen.

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