Abschätzung

29.10.2023, 11:34

Evelyn2003

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Abschätzung

Ich soll mit einem direkten Beweis folgende Abschätzung beweisen:

$\begin{eqnarray*} \biggl(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\biggl)^{n+1} \geq 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

Wie gehe ich das bitte an ohne vollständige Induktion? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} =\biggl(1 - \frac{1}{n^3 + 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 + 1}\biggl)^{n+1} \geq 1 - \frac{1}{n^2+2n \cdot 1 + 1^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\biggl(1 - \frac{1}{n^3 + 3n^2 + 3n + 1}\biggl)^{n+1} \geq 1 - \frac{1}{n^2+2n + 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3n^2 \geq n^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3n \geq 2n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n+1 \geq 1 \end{eqnarray*}$

so?

Aber wenn der Nenner größer ist, dann ist der gesamte Bruch ja kleiner? Also muss man mit den Exponent argumentieren?

29.10.2023, 11:52

Mathema

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Habt ihr die Bernoulli-Ungleichung thematisiert?

https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung

29.10.2023, 12:08

Evelyn2003

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Zitat:

Original von Mathema
Habt ihr die Bernoulli-Ungleichung thematisiert?

https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung

Ja, aber es wurde nur gezeigt wie man es mit der vollständigen Induktion beweist. unglücklich

unglücklich

29.10.2023, 12:11

Mathema

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Dann kannst du doch die Ungleichung als bewiesen voraussetzen und nutzen. Damit hast du doch deinen direkten Beweis.

29.10.2023, 12:14

Evelyn2003

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Zitat:

Original von Mathema
Dann kannst du doch die Ungleichung als bewiesen voraussetzen und nutzen. Damit hast du doch deinen direkten Beweis.

In der Aufgabenstellung steht aber ausdrücklich, das ich die Aufgabe mit einem direkt Beweis (ohne vollständige Induktion) beweisen soll. Oder habe ich dich möglicherweise falsch verstanden? verwirrt

verwirrt

Inwiefern kann ich es bitte nutzen?

29.10.2023, 12:21

Mathema

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Ich habe dich zumindest so verstanden, dass ihr die Bernoulli-Ungleichung in der Vorlesung (oder als Übung) bewiesen habt. Nun darfst du sie sicherlich in anderen Aufgaben auch verwenden. Das ist doch der Sinn von solchen Ungleichungen.

$\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^{n+1}=\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^n\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)\geq \ldots \end{eqnarray*}$

Nun wende auf den ersten Faktor Bernoulli an.

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29.10.2023, 12:23

SC/MP

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Schulmathematik | Analysis | Abschätzung
Eine einfache Abschätzung

Wird $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ substitutiert und lässt man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich gehen, dann entsteht folgender Zusammenhang der beiden zu vergleichenden Funktionsausdrücke:

$\begin{eqnarray*} 1\geq 1 \end{eqnarray*}$

Das ist insoweit trivial einsichtig.

Tatsächlich muss man zuerst mit konkreter Berechnung zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \biggl(1 - \frac{1}{n^3}\biggl)^n \geq 1 - \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ohne Null gilt.

Setze ich $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ein, dann entsteht folgender Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} 0\geq 0 \end{eqnarray*}$

Setze ich $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ ein, dann entsteht folgender Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} 0,765625 \geq 0,75 \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Weiterenwicklung der Funktionsergebnisse ist der Nachweis erbracht.

29.10.2023, 12:32

Evelyn2003

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Zitat:

Original von Mathema
Ich habe dich zumindest so verstanden, dass ihr die Bernoulli-Ungleichung in der Vorlesung (oder als Übung) bewiesen habt. Nun darfst du sie sicherlich in anderen Aufgaben auch verwenden. Das ist doch der Sinn von solchen Ungleichungen.

$\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^{n+1}=\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^n\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)\geq \ldots \end{eqnarray*}$

Nun wende auf den ersten Faktor Bernoulli an.

$\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^{n+1}=\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^n \geq \left(1 - n \cdot \frac{1}{(n+1)^3}\right) \end{eqnarray*}$

? verwirrt

verwirrt

29.10.2023, 12:37

Mathema

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Jap - du hast nur den zweiten Faktor vergessen.

$\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^{n+1}=\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^n\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)\geq \left(1 - \frac{n}{(n+1)^3}\right)\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right) \end{eqnarray*}$

Nun multipliziere das mal aus.

29.10.2023, 13:01

Evelyn2003

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$\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^{n+1}=\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^n\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)\geq \left(1 - \frac{n}{(n+1)^3}\right)\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1 \cdot 1 + 1 \cdot \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl )+\biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) \cdot 1 + \left(-\frac{n}{(n+1)^3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{(n+1)^3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) + \frac{n}{(n+1)^6} = \biggl(\frac{(n+1)^3}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) + \frac{n}{(n+1)^6} \end{eqnarray*}$

und jetzt? verwirrt

verwirrt

Edit Mathema: Vollzitat entfernt

29.10.2023, 13:09

Mathema

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Zitat:

Original von Evelyn2003

$\begin{eqnarray*} = 1 + \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) + \frac{n}{(n+1)^6} \end{eqnarray*}$

Edit Mathema: Vollzitat entfernt

Dort klammerst du im Mittelteil $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ aus.

Und bitte keine nervigen Vollzitate mehr. Aus deinem letzten Beitrag habe ich das entfernt.

29.10.2023, 13:13

Evelyn2003

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$\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^{n+1}=\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^n\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)\geq \left(1 - \frac{n}{(n+1)^3}\right)\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1 \cdot 1 + 1 \cdot \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl )+\biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) \cdot 1 + \left(-\frac{n}{(n+1)^3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{(n+1)^3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) + \frac{n}{(n+1)^6} = \biggl(\frac{(n+1)^3}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) + \frac{n}{(n+1)^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 +(-1) \cdot \biggl( \biggl(\frac{1}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl (\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) \biggl)+ \frac{n}{(n+1)^6} \end{eqnarray*}$

29.10.2023, 13:16

Mathema

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Nun erinnerst du dich an die 6. Klasse wie man Brüche mit gleichen Nenner addiert. Anschließend kürzen.

29.10.2023, 13:27

Evelyn2003

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$\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^{n+1}=\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^n\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)\geq \left(1 - \frac{n}{(n+1)^3}\right)\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1 \cdot 1 + 1 \cdot \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl )+\biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) \cdot 1 + \left(-\frac{n}{(n+1)^3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{(n+1)^3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) + \frac{n}{(n+1)^6} = \biggl(\frac{(n+1)^3}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) + \frac{n}{(n+1)^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 +(-1) \cdot \biggl( \biggl(\frac{1}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl (\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) \biggl)+ \frac{n}{(n+1)^6} = 1 +(-1) \cdot \frac{1+n}{(n+1)^3}+ \frac{n}{(n+1)^6} = 1 +\frac{-1-n}{(n+1)^3}+ \frac{n}{(n+1)^6} \end{eqnarray*}$

Ich kann nicht erkennen, das man es weiter kürzen kann? Oder meinst du etwa das ich $\begin{eqnarray*} (n+1)^3 \end{eqnarray*}$ mit jeden Summanden multipliziere?

29.10.2023, 13:30

Mathema

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Du solltest doch das Minus vor der Klammer stehen lassen. Dann steht im Mittelteil $\begin{eqnarray*} -\frac{n+1}{(n+1)^3} \end{eqnarray*}$ . Das steht ja auch vor deinem letzten Gleichheitszeichen.

29.10.2023, 13:34

Evelyn2003

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$\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^{n+1}=\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^n\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)\geq \left(1 - \frac{n}{(n+1)^3}\right)\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1 \cdot 1 + 1 \cdot \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl )+\biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) \cdot 1 + \left(-\frac{n}{(n+1)^3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{(n+1)^3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) + \frac{n}{(n+1)^6} = \biggl(\frac{(n+1)^3}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl(-\frac{1}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl (-\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) + \frac{n}{(n+1)^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 +(-1) \cdot \biggl( \biggl(\frac{1}{(n+1)^3}\biggl ) + \biggl (\frac{n}{(n+1)^3}\biggl) \biggl)+ \frac{n}{(n+1)^6} = 1 +(-1) \cdot \frac{1+n}{(n+1)^3}+ \frac{n}{(n+1)^6} = 1 +(-1) \cdot \frac{n+1}{(n+1)^3}+ \frac{n}{(n+1)^6} = 1 +(-1) \cdot \frac{1}{(n+1)^2}+ \frac{n}{(n+1)^6} \end{eqnarray*}$

29.10.2023, 13:36

Mathema

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Und der letzte Summand ist sicherlich nicht negativ. Damit bist du fertig.

29.10.2023, 13:53

HAL 9000

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Warum so kompliziert? Wie sieht es aus mit der direkten Anwendung der Bernoulli-Ungleichung $\begin{eqnarray*} (1+x)^m \geq 1+mx \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} m=n+1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{(n+1)^3} \end{eqnarray*}$ ?

29.10.2023, 14:05

Mathema

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Uups

Hammer

Ich wollte natürlich nur, dass Evelyn2003 noch etwas Ausklammern und Bruchaddition übt. Tanzen

Tanzen

(was natürlich gelogen ist)

29.10.2023, 14:10

HAL 9000

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Es steckt allerdings auch eine gewisse Heimtücke in der Aufgabenstellung - man hätte sie schließlich äquivalent auch so formulieren können:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{1}{n^3}\right)^n \geq 1 - \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N, n\geq 1 \end{eqnarray*}$

Was nicht getan wurde. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.10.2023, 14:15

Evelyn2003

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Zitat:

Original von Mathema
Und der letzte Summand ist sicherlich nicht negativ. Damit bist du fertig.

Jetzt verstehe ich es. Hab vielen Dank, Mathema! Muss aber leider gestehen das ich ohne deine Hilfe nicht alleine darauf gekommen wäre. Wink

Wink

29.10.2023, 14:37

Mathema

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es steckt allerdings auch eine gewisse Heimtücke in der Aufgabenstellung [...]

Wäre heute nicht Sonntag, hätte ich diese vielleicht auch erkannt. smile

smile

@Evelyn: Du solltest dir den Hinweis von HAL dann nochmal klarmachen. Außerdem solltest du das nicht so lang aufschreiben. Solch einfache Produkte kannst du doch direkt ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^{n+1}&=&\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right)^n\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right) \\ &\geq& \left(1 - \frac{n}{(n+1)^3}\right)\left(1 - \frac{1}{(n+1)^3}\right) \\ &=& 1-\frac{1}{(n+1)^3}-\frac{n}{(n+1)^3}+\frac{n}{(n+1)^6} \\&=& 1-\frac{n+1}{(n+1)^3}+\frac{n}{(n+1)^6}\\&=& 1-\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{n}{(n+1)^6}\\&\geq& 1-\frac{1}{(n+1)^2} \quad \blacksquare<br /> \end{eqnarray*}$

Das erübrigt sich natürlich alles, wenn du Bernoulli direkt anwendest. Ich wollte es für künftige Aufgaben aber noch erwähnt haben.

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