Abschätzung Teil2

29.10.2023, 22:14

Evelyn2003

Abschätzung Teil2

Ich habe die Aufgabe mit einem direkten Beweis folgende Ungleichung zu beweisen.
x und y seien reelle positive Zahlen.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \leq \frac{x+y}{2} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich denn bitte hier vorgehen? verwirrt

Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x, y \to \infty } \frac{2}{0+0} \leq \frac{0+0}{2} \end{eqnarray*}$ verwirrt

30.10.2023, 00:23

Evelyn2003

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzung Teil2

Zitat:

Original von Evelyn2003

Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x, y \to \infty } \frac{2}{0+0} \leq \frac{0+0}{2} \end{eqnarray*}$ verwirrt

ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} \lim_{x, y \to \infty } \frac{2}{0+0} \leq \frac{\infty}{2} \end{eqnarray*}$ Hammer

30.10.2023, 05:43

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung, was du da vorhast. unglücklich

Multipliziere deine Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \end{eqnarray*}$ .

30.10.2023, 11:39

Evelyn2003

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \cdot \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \leq \frac{x+y}{2} \cdot 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{x}+\frac{2}{y} \cdot \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \leq \frac{x+y}{2} \cdot \frac{2}{x}+\frac{2}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{x}+\frac{2}{y} \cdot 2 \div \biggl(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\biggl) \leq \biggl(\frac{x}{2} + \frac{y}{2}\biggl) \cdot \frac{2}{x}+\frac{2}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{x}+\frac{2}{y} \cdot 2 \cdot \biggl(\frac{x}{1}+\frac{y}{1}\biggl) \leq \biggl(\frac{x}{2} + \frac{y}{2}\biggl) \cdot \frac{2}{x}+\frac{2}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{x}+\frac{2}{y} \cdot 2x+2y \leq 1 + \frac{y}{x} +\frac{2}{y} \end{eqnarray*}$

Wie bist du bitte auf die $\begin{eqnarray*} 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \end{eqnarray*}$ gekommen? verwirrt

30.10.2023, 13:06

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja anscheinend überhaupt kein Gespür für Terme. unglücklich

Der Vorschlag von Mathema kommt ja nicht von ungefähr, sondern dient dazu, den Nenner links zu entfernen. D.h., links steht nach dieser Operation schlicht und einfach $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2 = 4 \end{eqnarray*}$ , nichts weiter!!!

Rechts machst du gleich von der ersten zur zweiten Zeile den Fehler, die Klammer nicht richtig aufzulösen:

Es ist $\begin{eqnarray*} a\cdot (u+v) = a\cdot u + a\cdot v \end{eqnarray*}$ , nicht wie bei dir $\begin{eqnarray*} a\cdot (u+v) \stackrel{???}{=} a\cdot u + v \end{eqnarray*}$ .

Kurzum: Nur die rechte Seite ergibt umgeformt ausführlichst

$\begin{eqnarray*} \frac{x+y}{2} \cdot 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) = (x+y)\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) = (x+y)\cdot \frac{1}{x} + (x+y)\cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + \frac{y}{y} = 1 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 1 = 2 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

30.10.2023, 13:34

SC/MP

Auf diesen Beitrag antworten »

Schulmathematik | Analysis | Abschätzung Teil2
Behauptung

Zieht man von der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \leq \frac{x+y}{2} \end{eqnarray*}$

die kleinere der beiden Funktionen von der größeren Funktion ab, erhält man einen Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} \frac{x+y}{2} - \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = \frac{(x-y)^2}{2(x+y)} \end{eqnarray*}$

in Faktoren, mit denen sich sinnvolle Werte zum Einsetzen in die Ungleichung finden lassen. Sobald man eine Wertekombination gefunden hat, die durch Einsetzung die Ungleichung nicht erfüllt, dann ist diese Ungleichung widerlegt.

Edit: Überflüssige Klammern entfernt.

30.10.2023, 15:33

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Evelyn2003
$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{x}+\frac{2}{y} \cdot 2 \textcolor{red}{\div \biggl(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\biggl)} \leq \biggl(\frac{x}{2} + \frac{y}{2}\biggl) \cdot \frac{2}{x}+\frac{2}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{x}+\frac{2}{y} \cdot 2 \textcolor{red}{\cdot \biggl(\frac{x}{1}+\frac{y}{1}\biggl)} \leq \biggl(\frac{x}{2} + \frac{y}{2}\biggl) \cdot \frac{2}{x}+\frac{2}{y} \end{eqnarray*}$

Nur noch als Ergänzung zu HAL: Das obige ist natürlich auch Blödsinn. Setze doch mal für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ Werte ein. Wieso soll z.B. durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ zu dividieren äquivalent sein zu einer Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{1}+\frac{3}{1}=5 \end{eqnarray*}$ ? Also ja - elementare Termunformung gilt es (weiterhin) zu üben. Lehrer

01.11.2023, 10:05

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

Da mich diese Aufgabe interessiert und die Fragestellerin sich anscheinend nicht mehr meldet, erlaube ich mir, hier - wenigstens ein kleines Stück - weiterzumachen.

Mein erster Gedanke war auch, die Brüche los zu werden, allerdings nicht ganz nach Mathemas Tipp.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \leq \frac{x+y}{2} \end{eqnarray*}$

Linke Seite - zwei Brüche als Nenner finde ich umständlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\frac{x+y}{xy}} \leq \frac{x+y}{2} \end{eqnarray*}$

Dann den Doppelbruch auflösen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2xy}{x+y} \leq \frac{x+y}{2} \end{eqnarray*}$

x, y sind positiv, also kann man wie gewohnt kreuzweise multiplizieren, ohne das Ungleichheitszeichen umzudrehen:

$\begin{eqnarray*} \text{(A)}\ \ \ 4xy \leq (x+y)^{2} \end{eqnarray*}$

Nur eine Vermutung: die 4xy könnten zum Quadrat der Klammer auf der rechten Seite passen; schaun wir einmal . . .

$\begin{eqnarray*} 4xy \leq x^2+2xy+y^2 \end{eqnarray*}$

4xy abziehen:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x^2-2xy+y^2 \end{eqnarray*}$

Tatsächlich; die 2. Binomische Formel rückwärts gerechnet:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq (x-y)^2 \end{eqnarray*}$

An dieser einfachen Ungleichung sieht man schön:
(x-y) kann zwar negativ sein, aber das Quadrat ist immer positiv; im Falle von x = y ist die rechte Seite Null. Daher ist die letzte Zeile und mit ihr die ursprüngliche Ungleichung eine wahre Aussage (unter der erwähnten Voraussetzung).

Bei (A) gibt es eine "Abzweigung" zu einem Standardsatz im statistischen Rechnen, von welchem der Autor möglicherweise(??) ausgegangen ist, denn Wurzelziehen auf beiden Seiten ergibt:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{xy} \leq x+y \ \ \ | \ : 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2} \end{eqnarray*}$

Das geometrische Mittel von x und y ist immer kleiner als das arithmetische oder diesem gleich.

01.11.2023, 15:52

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke der Autor ist noch nicht von Mittelwerten ausgegangen, ansonsten ist die Ungleichung ja einfach AM-HM.

https://en.wikipedia.org/wiki/QM-AM-GM-HM_Inequalities

Deine Lösung ist doch ziemlich analog zu meiner. Meine Multiplikation führt auf die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{x}\geq 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ . Und diese Ungleichung nicht beweisen zu können ist schwierig.

01.11.2023, 19:27

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathema Danke für den Link!

Aber was den Rechenweg angeht: ich komme nicht auf Dein $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{x}\geq 2 \end{eqnarray*}$

Wo ist das y geblieben? Oder übersehe ich gerade einen besonderen Kniff? verwirrt

01.11.2023, 19:45

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist ja nur eine Dummy-Variable. Vielleicht hätte ich eher $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \end{eqnarray*}$ schreiben sollen. Man erhält ja $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2 \end{eqnarray*}$ , bzw. mit $\begin{eqnarray*} \tilde{x}:=\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} \tilde{x}+\frac{1}{\tilde{x}}\geq 2 \end{eqnarray*}$ .

01.11.2023, 22:24

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

Aah ja, alles klar. Danke Dir!

Hoffentlich liest Evelyn wenigstens mit. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Abschätzung Teil2

Verwandte Themen