Form von Beweisen semantischer Folgerungen

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Form von Beweisen semantischer Folgerungen
Ich würde gerne bei Beweisen o.g. Art so vorgehen:

1. A

Sei A eine wff der Sprache L in einem beliebigen Modell M von L. [Jetzt kommt der Beweis, dass A in jedem M gilt, also immer wahr ist.]

2. A B

Seien A, B wff der Sprache L in einem beliebigen Modell M von L, in dem A gilt bzw. wahr ist. [Jetzt kommt der Beweis, dass in jedem Modell mit A auch B gilt]

Kann man das so machen oder muss man statt „Modell“ den Begriff „Interpretation“ verwenden? Wie sähen bei euch solche Beweise der äußeren Form nach aus?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist die notwendige Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit? Wo ist der Zusammenhang zwischen Sprache und Modell? Wieso werden Formeln in einem Modell formuliert? Die Antwort auf die letzten beiden Fragen kann sein, dass Interpretationen notwendig sind. Ohne umfassende Erklärungen ist deine Frage unverständlich.
Wenn ich Beweise versuche, orientiere ich mich an guten Lehrbüchern und vertrauenswürdigen Veröffentlichungen. Und selbstverständlich schreibe ich alle Voraussetzungen und Behauptungen vollständig auf, weil Beweise sonst nicht möglich sind.
Das Beispiel des Parallelenaxiom zeigt, dass die erste Aussage falsch ist. Auch für die zweite Aussage kann man vermutlich Gegenbeispiele finden, also wird es dir nicht leicht fallen, Beweise zu führen.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte auch fragen, ob man die semantische Folgerungsrelation so definieren kann:

A B gdw. A, B wff einer Sprache L und ein beliebiges Modell von A in L auch Modell für B ist. So geht glaub ich die Standarddefinition. Deshalb kam ich auf den Gedanken zu definieren, dass

B gdw. B wff einer Sprache L und ein beliebiges Modell in L auch Modell für B ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist ein Modell in einer formalen Sprache ? So etwas gibt es nicht. Wird das Modell der natürlichen Zahlen von Neumann (https://en.wikipedia.org/wiki/Set-theore...natural_numbers) in den Dedekind-Peano-Axiomen formuliert ? Offensichtlich nicht, denn es sind rekursiv definierte Mengen. Werden Modelle der Geometrien in der Sprache der Geometrie-Axiome definiert ? Offensichtlich nicht, egal ob ich nun Minimalmodelle für affine oder projektive Geometrie (https://www.google.com/search?client=ava...UTF-8#cobssid=s) oder die bekannten Modelle für nichteuklidische Geometrien (http://www2.math.uni-wuppertal.de/~lind/NE_Skript.pdf) betrachte. Modelle sind ganz konkrete Objekte, von denen nur verlangt wird, dass sie den Axiomen einer Theorie genügen, sie werden völlig unabhängig von der Sprache konstruiert, in der die Axiome und Sätze der Theorie formuliert werden.
Für eine Theorie ist kein Modell notwendig, es genügt eine Interpretation, damit man von Wahrheit reden kann. Also bitte nicht alles in einen Topf werfen.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Was ist ein Modell in einer formalen Sprache ?.


Laut Logikbüchern sind Modelle diejenigen Interpretationen einer Struktur einer formalen Sprache, wo mind. eine Formel F = wahr.

Wie würdest du denn ganz persönlich A |= B und |= B definieren? Vielleicht erhellt sich dadurch schon was.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

"Modelle sind Interpretationen" - warum fragst du dann, ob man zugunsten von Modellen auf Interpretationen verzichten kann ?

"Interpretationen einer Struktur einer formalen Sprache" - was soll das denn nun wieder heißen ? (Interpretation einer Struktur) einer formalen Sprache - wird da eine Struktur interpretiert ? wird die formale Sprache zur Interpretation der Struktur benutzt ? Was ist eine Struktur ?
Interpretation einer (Struktur einer formalen Sprache) - wird da eine Sprachstruktur interpretiert ?


Wenn meine Beispiele nichts erhellen, dann können meine Worte das auch nicht. Rede nicht nur um den heißen Brei herum, sage was du weißt oder frage, was du wissen willst. Es nützt weder dir noch mir, wenn du mich verwirren willst, das schaffst du sowieso nicht.
 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte nochmal meinen Gedankengang darstellen, vielleicht siehst du oder ein anderer dann den Fehler. Ebbinghaus (Einführung in die math. Logik, 6. Aufl., S. 34) definiert:

:gdw. jede Interpretation, die Modell von ist, ist auch Modell von .

Das kann man doch umformen:

:gdw. jedes Modell von ist auch Modell von . Richtig?

Dann muss aber auch gelten, dass

:gdw. jedes Modell ist auch Modell von .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Kontext und ohne Definitionen kann ich damit nichts anfangen.
SC/MP Auf diesen Beitrag antworten »
Hochschulmathematik | Sonstiges | Form von Beweisen semantischer Folgerungen
Quelle

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_math...duktionszeichen

Kontext und Definition gegeben

: Aussage ist allgemeingültig

: Aussage folgt semantisch aus Aussage

Semantik und Rhetorik: Ist dies ein Widerspruch oder eine Ergänzung?

Edit: Richtige Quellenangabe ergänzt. Neu Formatiert.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Semantik : Bedeutung
Rhetorik : Redekunst

Kannst du damit Pippens Fragen beantworten?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Folgendes halte ich für eine richtige Definition einer formalen Logik.
1. Die Syntax eines Kalküls wird durch Terme, Axiome und Schlußregeln festgelegt. Terme = Formeln sind bestimmte Zeichenketten einer formalen Sprache. Axiome sind eine Teilmenge der Terme. Schlußregeln bestehen aus Prämissen und Konklusion.
2. Ein Beweis ist eine Kette von Formeln, die entweder Axiome sind oder durch Schlußregeln aus vorangegangenen Gliedern der Kette hervorgehen. Die letzte Formel der Kette ist das bewiesene Theorem.
3. Die Semantik bestimmt, wie die Bestandteile einer Formel zu interpretieren sind und gibt den Formeln eine Bedeutung. Die Wahl einer konkreten Interpretation ermöglicht es, von wahren und falschen Formeln zu sprechen.
4. Eine Interpretation, in der alle Theoreme eines Kalküls wahre Aussagen sind heißt Modell.

Damit stimme ich der ersten Aussage von Pippen zu. Jedes Modell von ist Modell von .
Die zweite Aussage ist falsch. Der Gehalt der unbedingten Modellrelation ist, dass jedes Modell der Axiome des Kalküls ein Modell von ist. Es kann nicht sein, dass jede beliebige Interpretation alle Formeln eines Kalküls wahr macht.
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