Genau einmal durch 2 teilbar

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30.10.2023, 16:04

Malcang

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Genau einmal durch 2 teilbar

Hallo mal wieder smile

ich habe folgende Aufgabe:

Zitat:

Für eine beliebige natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ und ungerade $\begin{eqnarray*} h,q \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} h\cdot 2^k= (q+1)(q-1). \end{eqnarray*}$ Dann ist $\begin{eqnarray*} q+1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} q-1 \end{eqnarray*}$ genau einmal durch 2 teilbar.

Im Endeffekt will ich damit darauf hinaus, dass einer der beiden durch $\begin{eqnarray*} 2^{k-1} \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

Mir ist zwar klar wie das geht, aber folgender Ansatz erscheint mir nicht sehr elegant.
Mein Ansatz ist, dass $\begin{eqnarray*} h\cdot 2^k \end{eqnarray*}$ ja gerade ist, und damit $\begin{eqnarray*} q+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q-1 \end{eqnarray*}$ ebenfallse gerade sind. Da die beiden auch noch genau 2 auseinander sind, ist einer der beiden kongruent zu $\begin{eqnarray*} 2 \pmod 4. \end{eqnarray*}$

Eigentlich ist das ja schon die Begründung, aber geht das nicht etwas eleganter?
Eine Fallunterscheidung wollte ich nicht gerne machen, denn dann müsste ich 2 mal 2 Fallunterscheidungen machen, und das erscheint mir dann zuviel des Guten.

verwirrt

30.10.2023, 16:35

HAL 9000

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Ok, aus den Erläuterungen wird immerhin klar, dass $\begin{eqnarray*} 2^+k \end{eqnarray*}$ wohl $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ bedeuten soll, und dass $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist (immer wieder ermüdend: Die einen zählen 0 zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , die anderen nicht).

Zitat:

Original von Malcang
und damit $\begin{eqnarray*} q+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q-1 \end{eqnarray*}$ ebenfallse gerade sind. Da die beiden auch noch genau 2 auseinander sind, ist einer der beiden kongruent zu $\begin{eqnarray*} 2 \pmod 4. \end{eqnarray*}$

Ja klar, das ist die Quintessenz. Nach welchem Mehr an Eleganz verlangst du da?

30.10.2023, 17:32

Malcang

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Hallo HAL, danke dir! Sorry erstmal für die fehlenden Infos und den Typo.

Eleganz ist vielleicht das falsche Wort. Ich befürchte halt, dass da Zwischenschritte fehlen. Aber das ist ja leider eine meiner Hauptsorgen. Ich habe es jetzt mal so gemacht:[attach]57337[/attach]

Erscheint mir halt eigentlich sehr viel für diese kleine Aussage...

30.10.2023, 17:50

Luftikus

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RE: Genau einmal durch 2 teilbar

Zitat:

Original von Malcang
Mir ist zwar klar wie das geht, aber folgender Ansatz erscheint mir nicht sehr elegant.
Mein Ansatz ist, dass $\begin{eqnarray*} h\cdot 2^k \end{eqnarray*}$ ja gerade ist, und damit $\begin{eqnarray*} q+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q-1 \end{eqnarray*}$ ebenfallse gerade sind. Da die beiden auch noch genau 2 auseinander sind, ist einer der beiden kongruent zu $\begin{eqnarray*} 2 \pmod 4. \end{eqnarray*}$

Das folgt schon daraus, dass q nach Voraussetzung ungerade ist, unabhängig der linken Seite der Gleichung.
Aber das zu beweisende Lemma sagt ja mehr aus als aus deinem Ausgangsposting ersichtlich ist smile

30.10.2023, 18:08

HAL 9000

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Na das ganze ist etwas blumig lang ausformuliert. Da kannst du an vielen Stellen sparen, aber nicht ausgerechnet am Kern, dass genau eine der beiden Zahlen $\begin{eqnarray*} q-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q+1 \end{eqnarray*}$ kongruent $\begin{eqnarray*} 2\bmod 4 \end{eqnarray*}$ ist.

Weiter dann: Da das Produkt der beiden den Primfaktor 2 genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -mal enthält, muss die andere der beiden Zahlen den Primfaktor 2 genau $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ -mal enthalten - fertig.

Das zumindest meine Ansicht.

30.10.2023, 18:36

Malcang

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Danke HAL.
Du hast völlig Recht. Mein Problem ist leider, dass ich mir mit Formulierungen wie

Zitat:

Original von HAL 9000
Da das Produkt der beiden den Primfaktor 2 genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -mal enthält, muss die andere der beiden Zahlen den Primfaktor 2 genau $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ -mal enthalten - fertig.

sehr schwer tue die zu finden. Aber nun habe ich ja eine Big Laugh

30.10.2023, 20:04

Luftikus

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Zitat:

Original von Malcang
sehr schwer tue die zu finden. Aber nun habe ich ja eine Big Laugh

Naja, da $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ für n>1 durch 4 teilbar ist, gibt es dazu ja nicht mehr zu sagen als Hal9000 gesagt hat smile

30.10.2023, 20:16

HAL 9000

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Anzumerken ist noch, dass ungerade $\begin{eqnarray*} h,q \end{eqnarray*}$ in dieser Gleichung $\begin{eqnarray*} h\cdot 2^k = q^2-1 \end{eqnarray*}$ automatisch $\begin{eqnarray*} k\geq 3 \end{eqnarray*}$ bedeuten - was auch als Nebenresultat aus diesem Beweis hervorgeht.

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