Komposition von Funktionen

31.10.2023, 09:41

vanessax

Komposition von Funktionen

Ich habe eine Frage zu Komposition von Funktionen:
[attach]57338[/attach]

$\begin{eqnarray*} h \circ g = h(g(x)) = \sqrt{x-3} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist etwas allgemeiner. Worauf muss ich achten, ob eine Komposition überhaupt möglich ist bzw. wann Definitionsmenge oder Wertemenge einschränken muss.

31.10.2023, 10:37

Elvis

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Die Wurzel ist nur für positive Argumente definiert, also muss x>3 sein. Allgemein kann man das nicht sagen. Kompositionen sind Funktionen, also gelten für sie alle Regeln, die für Funktionen gelten und sonst nichts.
Übrigens musst du $\begin{eqnarray*} (h\circ g) (x) \end{eqnarray*}$ schreiben.

31.10.2023, 11:07

HAL 9000

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Die Komposition $\begin{eqnarray*} h\circ g:~A\to D \end{eqnarray*}$ der beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} g:~A\to B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h:~C\to D \end{eqnarray*}$ erfordert $\begin{eqnarray*} g(A)\subseteq C \end{eqnarray*}$ , dafür ist z.B. $\begin{eqnarray*} B\subseteq C \end{eqnarray*}$ hinreichend.

Diese Bedingung ist im vorliegenden Fall verletzt, d.h., genau genommen kann man hier allenfalls die Komposition $\begin{eqnarray*} h\circ g_1 \end{eqnarray*}$ betrachten, wobei bei $\begin{eqnarray*} g_1:~A\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g_1(x)=x-3 \end{eqnarray*}$ der Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ so eingeschränkt werden muss, dass $\begin{eqnarray*} g_1(A)\subseteq [0,\infty[ \end{eqnarray*}$ . Das wäre dann für $\begin{eqnarray*} A=[3,\infty[ \end{eqnarray*}$ erfüllt.

31.10.2023, 12:06

nichteuerernst

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Zitat:

Die Wurzel ist nur für positive Argumente definiert, also muss x>3 sein.

Die Wurzel ist nicht nur für positive Argumente definiert.

31.10.2023, 12:36

Elvis

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$\begin{eqnarray*} x\ge 3 \end{eqnarray*}$ ist angesichts der Unendlichkeit so gut wie $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ . Wir wollen doch nicht kleinlich werden. Augenzwinkern

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