Fixpunkt mithilfe von Brouwer |
| 31.10.2023, 09:47 | severiney | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Fixpunkt mithilfe von Brouwer Ich habe folgendes Problem: In diesem Paper Paper (Seite 10 unten) wird gesagt, dass laut Brouwers Fixpunktsatz immer ein Fixpunkt existieren muss. Alternativ hier die moderne Variante des Modells (wieder Seite 10) mit der gleichen Begründung. Der Simplex, der den Defnitionsbereich darstellt, ist kompakt und die Funktion stetig. Allerdings bildet die Funktion den Simplex nicht ganz auf sich selbst ab, die Ränder fallen alle raus. Also etwa in der Form [0,1]-->(0,1). Nach meinem Verständnis ist dann ja aber kein Fixpunkt durch Brouwer garantiert? Jetzt wäre meine Frage, wieso wir sicher sein können, dass es einen Fixpunkt gibt. Ich vermute, dass man zeigen kann, dass er ohnehin nicht auf dem Rand war? Besten Dank |
||
| 31.10.2023, 10:08 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Fixpunkt mithilfe von Brouwer Nach meinem Verständnis erfordert Brouwer nur, dass es eine Abbildung vom Definitionsbereich in sich ist. Von Surjektivität, also Abbildung den Definitionsbereich, ist keine Rede. |
||
| 31.10.2023, 12:21 | severiney | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Fixpunkt mithilfe von Brouwer Ok, danke. Dann habe ich das falsch verstanden. Der Wertebereich muss also einfach nur eine Teilmenge des Definitionsbereichs sein? Ich hätte dann allerdings noch eine Anschlussfrage: Auf Wikipedia wird als Intuition für den Fixpunkt folgendes Beispiel genannt: Take an ordinary map of a country, and suppose that that map is laid out on a table inside that country. There will always be a "You are Here" point on the map which represents that same point in the country. Wenn der Wertebereich nur eine echte Teilmenge des Definitionsbereichs ist, wäre das in diesem Bild äquivalent dazu, wenn man einen Teil der Karte abreisen und entfernen würde, oder? Dann gäbe es aber Orte in dem Land, in denen ich die Karte nicht ablegen könnte und einen "You are here" point anbringen könnte. Ist die Intuition sich das ganze mit diesem Bild zu verdeutlichen also falsch? Hättest du ein besseres, mit dem ich mir das ganze vorstellen kann? |
||
| 31.10.2023, 12:53 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Fixpunkt mithilfe von Brouwer In dem Beispiel soll es wohl um eine Abbildung country -> map gehen. Wegen "map is laid out on a table inside that country" ist die map (Wertebereich) schon eine Teilmenge von country (Definitionsbereich) |
||
| 31.10.2023, 13:06 | severiney | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Fixpunkt mithilfe von Brouwer Ok, danke dir. Das hilft mir weiter! |
||
| 07.11.2023, 07:53 | severiney | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey, ich habe doch noch eine Anschlussfrage zu Brouwers Fixpunkttheorem im allgemeinen. Die Menge die auf sich sich selbst projiziert wird soll ja kompakt und konvex sein. Meine Frage ist: Konvexität ist nur in sofern wichtig, als dass die Menge kein Loch haben darf, oder? Zacken am Rand wären nicht weiter schlimm?! Also beispielsweise ein Stern der durch eine stetige Funktion auf sich selbst abgebildet wird, hat nach Brouwer keinen garantierten Fixpunkt, da er nicht konvex ist. Hat er tatsächlich keinen oder ist es so, dass auch bei nicht konvexen Mengen Fixpunkte garantiert sind solange sie kein Loch haben? Beste Grüsse severiney |
||
| Anzeige | ||
|
|
||
| 07.11.2023, 09:22 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Fixpunkt wird normalerweise für die Kugel bewiesen. Man kann es leicht auf konvexe Abbildung verallgemeiner, tatsächlich aber auch auch für alle homöomorphe Mengen: Wikipedia im englischen erklärt es auch: https://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fi..._pre-conditions |
||
|
|