Gegenbeispiel offener konvexer Kegel

01.11.2023, 18:16	Nostromo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenbeispiel offener konvexer Kegel Meine Frage: Zeigen Sie für Satz 2.42 (Für jeden abgeschlossenen konvexen Kegel K gilt: K°° = K), dass beide Eigenschaften notwendig sind. Geben Sie dazu zwei Kegel im R^2 an, sowie deren polare und bipolare Kegel. Verdeutlichen Sie Ihre beiden Gegenbeispiele graphisch. Meine Ideen: Ich fange also an und nehme einen offenen konvexen Kegel. $\begin{eqnarray} K=\{x \in \mathbb{R}^n \; \| \; 0<x_1,x_2 \} \end{eqnarray}$ In der Vorlesungen hatten wir Definiert, dass der Nullvektor im Kegel enthalten sein muss. Ich kann aber keinen offenen Kegel konstruieren mit dem Nullvektor. Die Definition vom punktierten Kegel hatten wir nicht in der Vorlesung. Was mache ich Falsch?
01.11.2023, 19:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gegenbeispiel offener konvexe Kegel Du hast mehrere Möglichkeiten: $\begin{eqnarray} K'=\{x \in \mathbb{R}^n \; \| \; 0<x_1,x_2 \} \cup \{ (0,0)\} \end{eqnarray}$ ist ein Kegel mit 0, so ist auch $\begin{eqnarray} K''=\{x \in \mathbb{R}^n \; \| \; -1<x_1,x_2 \} \end{eqnarray}$ Edit: Rückzug von $\begin{eqnarray} K'' \end{eqnarray}$ , das ist natürlich kein Kegel. Alternativ: $\begin{eqnarray} K''=\{x \in \mathbb{R}^n \; \| \; 0\leq x_1, 0 <,x_2 \} \cup \{ (0,0)\} \end{eqnarray}$
01.11.2023, 19:39	Nostromo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gegenbeispiel offener konvexe Kegel ja K' leuchtet ein. Das habe ich jetzt so aufgeschrieben. Vielen Dank dir.

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