SSW im Fall: Winkel liegt der kleineren Seite gegenüber

02.11.2023, 18:36

Catrin von Bubi

Meine Frage:
Liebes Matheboard,
ich möchte zeigen, dass es ein zum Dreieck ABC nicht kongruentes Dreieck DEF unter folgenden Voraussetzungen gibt:
AB ist kürzer als AC
AB ist kongruent zu DE
AC ist kongruent zu DF
Winkel ACB ist kongruent zu Winkel DFE

Meine Ideen:
Zeichnerisch kann ich ein solches Dreieck finden, in dem ich
D=A und F=C wähle und auf BC einen Punkt E so finde, dass AE kongruent zu AB ist. Wie kann ich es jedoch tatsächlich beweisen?
Danke für Eure Hilfe und viele Grüße
Catrin von Bubi

Ergänzend: man muss drei Fälle berücksichtigen - Winkel ABC ist spitz, stumpf oder rechter W. Die Konstruktion zu beschreiben ist keine Beweisführung, denke ich.

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

02.11.2023, 21:06

nichteuerernst

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"ich möchte zeigen, dass es ein zum Dreieck ABC nicht kongruentes Dreieck DEF unter folgenden Voraussetzungen gibt:"

Nicht mal das gilt uneingeschränkt. Die kürzere gegebene Seite kann so kurz sein, dass das Dreieck nicht einmal existiert.

02.11.2023, 21:19

HAL 9000

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Genau genommen ist die obige Behauptung falsch: Betrachten wir das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ mit rechtem Winkel bei $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und Kathetenlänge 1:

Dann ist $\begin{eqnarray*} c=|AB|=1,b=|AC|=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma = |\angle ACB| = 45^{\circ} \end{eqnarray*}$ , Voraussetzungen $\begin{eqnarray*} c<b \end{eqnarray*}$ ist also erfüllt. Wie soll das zweite, dazu inkongruente Dreieck $\begin{eqnarray*} DEF \end{eqnarray*}$ denn aussehen, welches ebenfalls $\begin{eqnarray*} |DE|=1, |DF|=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\angle DFE| = 45^{\circ} \end{eqnarray*}$ erfüllt? Augenzwinkern

@nichteuerernst

Fall 1 ist hier irrelevant, da Catrin von Bubi ja voraussetzt, dass Dreieck ABC bereits existiert.
Fall 2 ist natürlich der, auf dem mein Gegenbeispiel oben anspielt. Big Laugh

02.11.2023, 21:27

nichteuerernst

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Keine Einwände.

Was das Gegenbeispiel betrifft: Da waren wir ziemlich zeitgleich. Big Laugh

02.11.2023, 21:41

Catrin von Bubi

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Ich teile eure Meinungen, nur soll ich die Existenz eines inkongruenten Dreieckes beweisen, was für mich eine Fallunterscheidung nach rechtem Winkel (kein solches Dreieck), nicht rechter Winkel (es gibt ein solches Dreieck) notwendig macht.
Mein Problem ist es, einen „rechnerischen“ Beweis zu formulieren geschockt

02.11.2023, 22:59

HAL 9000

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Nochmal: Du musst Fall 2 ausschließen, sonst gibt es kein zu ABC inkongruentes DEF !!!

D.h., ohne die zusätzliche Voraussetzung

Zitat:

Winkel ABC ist kein rechter Winkel.

greift mein Gegenbeispiel, womit deine Behauptung natürlich auch nicht bewiesen werden kann. D.h. du musst diese Voraussetzung zu den übrigen hinzufügen, sonst kannst du dein Beweisanliegen vergessen.

Zum Beweis:

Laut Sinussatz ist $\begin{eqnarray*} t:=\frac{b}{c}\sin(\gamma) = \sin(\beta) \end{eqnarray*}$ , und in Fall 3 ist offenbar $\begin{eqnarray*} 0<t<1 \end{eqnarray*}$ . Damit bekommen wir zwei mögliche $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , die das erfüllen:

$\begin{eqnarray*} \beta_1 = \arcsin(t) \end{eqnarray*}$ sowie den davon verschiedenen Winkel $\begin{eqnarray*} \beta_2 = 180^{\circ}-\beta_1 \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} b>c \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \gamma < 90^{\circ} \end{eqnarray*}$ und aufgrund der Definition von eben gilt in diesem Fall auch $\begin{eqnarray*} \gamma < \beta_1 < 90^{\circ} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \beta_1+\gamma < 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ . Ebenfalls gilt dann $\begin{eqnarray*} \beta_2 + \gamma = 180^{\circ}-\beta_1 + \gamma < 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ , also kann man mit beiden $\begin{eqnarray*} \beta_i \end{eqnarray*}$ ein passendes Dreieck basteln.

Winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ im Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ muss eines dieser beiden $\begin{eqnarray*} \beta_i \end{eqnarray*}$ sein - für Dreieck $\begin{eqnarray*} DEF \end{eqnarray*}$ wähle für Winkel $\begin{eqnarray*} \angle DEF \end{eqnarray*}$ einfach das andere $\begin{eqnarray*} \beta_i \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} b>c \end{eqnarray*}$ ist dabei essentiell, denn für $\begin{eqnarray*} b\leq c \end{eqnarray*}$ kann man zwar genauso wie oben $\begin{eqnarray*} \beta_2 \end{eqnarray*}$ definieren, aber es gilt in diesem Parameterfall abweichend zu oben $\begin{eqnarray*} \beta_2 + \gamma \geq 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ , was einem Dreieck widerspricht. Da geht also nur $\begin{eqnarray*} \beta_1 \end{eqnarray*}$ , was dem Kongruenzsatz SsW entspricht.

03.11.2023, 08:28

Catrin von Bubi

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Danke, das verstehe ich alles bis auf die Stelle, wo du folgerst: ³<²1<90°∘ Kannst du den Schritt zu ²1<90° mir noch deutlicher erklären?
Viele Grüße
Catrin von Bubi

03.11.2023, 08:50

Catrin von Bubi

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Entschuldige, einfaches Kopieren funktioniert offenbar nicht: Ich meine die Stelle, wo du folgerst, dass Gamma kleiner Beta kleiner 90° ist. der Schritt zu Beta kleiner 90° leuchtet mir nicht ein.

03.11.2023, 10:23

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \beta_1 \end{eqnarray*}$ ist ein direktes Arcussinus-Resultat, und solche Werte sind stets $\begin{eqnarray*} \leq 90^{\circ} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} =90^{\circ} \end{eqnarray*}$ ist hier ausgeschlossen, denn das wäre Fall 2.

03.11.2023, 10:25

Catrin von Bubi

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Oh je,

, danke.

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