Dreidimensionale Drehmatrix

06.11.2023, 12:13	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreidimensionale Drehmatrix Gegeben sei eine 3-dimensionale Drehmatrix, die diff'bar von eine Parameter t abhängt (z.B. von der Zeit). Zu beweisen ist die Vertauschbarkeit $\begin{eqnarray} \tfrac{dD}{dt}D=D\tfrac{dD}{dt} \end{eqnarray}$ Man könnte dies leicht beweisen, indem man die z-Achse des Koordinatenssystems in Richtung der Drehachse legt (also in Richtung des reellen Eigenvektors). Dann hätte man eine Drehung in der xy-Ebene und könnte die Sache mit einer 2x2-Drehmatrix leicht explizit nachrechnen. Mir kommt es aber auf einen Beweis ohne dieses Nachrechnen an, indem man nur die allgemeinen Eigenschaften der 3-dimensionalen Drehung verwendet.
06.11.2023, 13:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, aus der allgemeineren Eigenschaft "Orthogonalmatrix", die ja $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ im besonderen auch erfüllt, kann ich durch Differenzieren von $\begin{eqnarray} D^D = I \end{eqnarray}$ zunächst allenfalls das ähnlich strukturierte $\begin{eqnarray} \frac{\dd D^}{\dd t} D = -D^ \frac{\dd D}{\dd t} \end{eqnarray*}$ folgern, aber das war dir wohl sowieso bekannt.
06.11.2023, 16:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \tfrac{dD}{dt}D - D\tfrac{dD}{dt}=\lim_{h\to0} \frac{ D(\cdot +h )D - D^2 - D D(\cdot+ h) + D^2 } h = \lim_{h\to0} \frac{ D(\cdot +h )D - D D(\cdot +h) } h \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ zweidimensional vertauschen Rotationen einfach immer und das Ergebnis ist 0. Wenn $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ dreidimensioanal ist, sind $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D(\cdot + h) \end{eqnarray}$ Drehungen in der Ebene, aber potentiell um (leicht!) verschiedene Drehachsen. Daher gilt es wohl: ich tippe mal man kann mit Ehos Eigenvektor eine additive 0 einbauen und Konvergenz gegen 0 zeigen. Mir fehlt jetzt die Phantasie für höhere Dimensionen, aber ich vermute es gibt zu viele Freiheitsgrade (allgemein kommutieren Rotation ab Dimension 3 nicht mehr) und es wird nicht für allgemeine Drehmatrizen gelten, sondern nur bis 3. Und wenn das stimmt, wird man alleinig mit der Eigenschaft einer Rotation keinen Beweis führen können.
06.11.2023, 17:45	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@InfindU Danke. Das ist einfach und leuchtet ein. @HAL 9000 Du hat im Prinzip bewiesen, dass die Matrix $\begin{eqnarray} \tfrac{dD^T}{dt}D \end{eqnarray}$ schiefsymmetrisch ist, also $\begin{eqnarray} \tfrac{dD^T}{dt}D=-(\tfrac{dD^T}{dt}D)^T \end{eqnarray}$ . Aber das war ja nicht gefragt. Trotzdem danke. Da eine schiefsymmetrische Matrix im R³ nur 3 unabhängige Matrixelemente hat, kann man sie folglich durch das Kreuzprodukt darstellen, also $\begin{eqnarray} \tfrac{dD^T}{dt}D \vec x =\vec \omega \times \vec x \end{eqnarray}$ . Das ist im Prinzip die Defnition der Winkelgeschwindigkeit $\begin{eqnarray} \vec \omega \end{eqnarray}$ .

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