Faire Münze

06.11.2023, 21:42	leela1119	Auf diesen Beitrag antworten »
Faire Münze Meine Frage: Eine faire Münze wird n-mal nacheinander geworfen. Wir gehen davon aus, dass sich die Würfe nicht gegenseitig beeinflussen. Die Zufallsgröße X gibt an, wie oft die Münze ?Kopf? gezeigt hat. Formulieren Sie zunächst ein geeignetes Modell für dieses Zufallsexperiment. Bestimmen Sie anschließend die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach n Würfen k-mal ?Kopf? auftritt. Gehen Sie dazu wie folgt vor: (a) Definieren Sie geeignete Zufallsgrößen Xi, i ? {1,...,n}, wobei Xi angibt, ob die Münze im i-ten Wurf ?Kopf? gezeigt hat. (b) Zeigen Sie, dass die Xi identisch verteilt sind. (c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Xi die Verteilung von X und berechnen Sie anschließend die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach n Würfen k-mal ?Kopf? auftritt. Kann mir bitte jemand helfen einen Ansatz zu finden? Meine Ideen: ist überhaupt meine idee für den Grundraum richtig? Grundraum = {0,1}^n für zahl=0 und kopf=1 X:GR->R, g=(g_1....g_n) --> 1,falls g 1 also kopf und 0, falls g = 0 also zahl
08.11.2023, 08:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} \Omega=\{0,1\}^n \end{eqnarray}$ ist eine passende Grundmenge, besteht demnach aus Elementarereignissen $\begin{eqnarray} \omega=\left(\omega_1,\ldots,\omega_n\right) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \omega_k\in\{0,1\} \end{eqnarray}$ , d.h. den $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ möglichen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Tupeln aus Nullen und Einsen. Bei den Zufallsgrößen musst du genauer vorgehen: Dort ist $\begin{eqnarray} X_i\left(\omega\right) = X_i\left(\left(\omega_1,\ldots,\omega_n\right)\right) = \omega_i \end{eqnarray}$ , d.h. die Zufallsgröße besteht aus der $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -ten Komponente des Elementarereignisses $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ , weil genau die ja das Wurfergebnis des $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -ten Wurfes repräsentiert - genau das war ja der Gedanke hinter der Konstruktion von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Bleibt noch die Frage, wie man die Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ für "Anzahl Kopf in den $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Würfen" mit Hilfe der $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ ausdrücken kann - da wird dir sicher was einfallen.

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