Partielle Summation nach Abel

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KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Summation nach Abel
Hallo,

Seien und reelle Zahlen und , für . Beweise

Ich würde das über eine vollständige Induktion zeigen.

Induktionsanfang:
Sei , dann , aufgelöst und umgeschrieben, folgt dann, dass ist. Eine wahre Aussage.

Induktionsvoraussetzung:
Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes

Induktionsschritt:







die zweite Gleichung gilt nach (IV.).

Meine Frage, ist das so richtig, oder hat sich ein Fehler eingeschlichen? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht soweit gut aus. Sofern man keine Scheu vor "leeren" Summen wie hat, kann man sogar Induktionsanfang wählen. Augenzwinkern

P.S.: Kommt mir bekannt vor diese Identität, die kommt beim Beweis des Konvergenzkriterium von Dirichlet zum Einsatz.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo @HAL 9000 danke für deine Antwort, das freut mich sehr! Ursprünglich habe ich auch mit angefangen Augenzwinkern
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann es auch als diskrete Version der partiellen Integration verstehen:

Seien stetige Funktionen und und Stammfunktionen. Dann ist .
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo @IfindU, das ist auch eine interessante Betrachtung, jetzt wo es da so steht, sehe ich das ein Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man müsste es sogar für allgemeine (zumindest -endliche) Maße so schreiben können:

Mit und

gilt

,

wobei für den da stehenden linksseitigen Grenzwert gilt.


Der Beweis ist an sich einfach: Das Integrationsgebiet der Funktion wird an der Diagonale aufgetrennt, wobei man die Diagonale selbst einem der beiden Teilintegrale zuschlägt, dem anderen jedoch nicht.


Spezialfälle:

1) Lebesgue-Maß: "normale" partielle Integration wie bei IfindU

2) Zählmaß: Partielle Summation nach Abel
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste man nicht den linken Rand noch mitbetrachten? Also:
.

Bei Lebesgue ist , weil eine Nullmenge ist. Ich bin mir aber unsicher, ob es bei allgemeineren Maßen so funktioniert. Oder sind die in versteckt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss man nicht: Es ist , aber

,

und das wollen wir NICHT. Augenzwinkern


Es ist laut Definition von und tatsächlich , unter Einschluss der Grenzen links, rechts, oben, unten.

Schau dir ruhig mal Spezialfall 2) an, bei dem kommt es ja drauf an, das man die Randkanten des Quadrats richtig berücksichtigt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal ganz von Anfang an: Wir integrieren über das Quadrat und teilen das disjunkt auf in mit und . Dann gilt mit Fubini einerseits



und dann auf die beiden Teilintegrationsbereiche bezogen





Über (2) = (1) - (3) bekommt man dann die obige Formel.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL Danke für die Ausführliche Erklärung. Freude
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