Koordinatentransformation zwischen zwei sphärischen Systemen

07.11.2023, 11:59

unass

Koordinatentransformation zwischen zwei sphärischen Systemen

Meine Frage:
Hallo,

ich hänge irgendwie fest. Ich habe ein Polarkoordinatensystem mit den zwei Winkeln
phi und theta, also x=cos(phi)sin(theta), y=sin(phi)sin(theta), z=cos(theta). Ich möchte dieses System nun so transformieren, dass die X-Achse = die z-Achse wird. Wie lässt sich nun der Vektor v(phi,theta) in den neuen Koordinaten schreiben, also z.B. psi und delta, d.h. v=v(cos(psi)sin(delta),sin(psi)sin(delta), cos(delta)?

Danke,
Uwe

Meine Ideen:
Meines Wissens ist das eigentlich eine pure Rotation um die y_Achse. Aber wie hängen die Winkel psi und delta von phi und theta ab, d.h. wie schreibt sich der Vektor v in diesen Koordinaten?

07.11.2023, 12:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von unass
Ich möchte dieses System nun so transformieren, dass die X-Achse = die z-Achse wird. [...] v=v(cos(psi)sin(delta),sin(psi)sin(delta), cos(delta))

Sollte das dann nicht eher v=v(cos(delta),cos(psi)sin(delta),sin(psi)sin(delta)) lauten, oder habe ich dich im ersten Teil falsch verstanden? verwirrt

08.11.2023, 07:22

unass

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Hallo,

stimmt, da ja x und z vertauscht werden soll.

08.11.2023, 08:07

HAL 9000

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Na versuch doch einfach die beiden Transformationen hintereinander auszuführen

$\begin{eqnarray*} (r,\varphi,\theta) \to (x,y,z)\to (r,\psi,\delta) \end{eqnarray*}$

im einzelnen bedeutet das

$\begin{eqnarray*} x = r\cos(\varphi)\sin(\theta) = r\cos(\delta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = r\sin(\varphi)\sin(\theta) = r\sin(\delta)\cos(\psi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = r\cos(\theta) = r\sin(\delta)\sin(\psi) \end{eqnarray*}$

Ok, $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ interessiert hier nicht, ist bei dir offenbar fest (vermutlich sogar $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ , was aber nicht zwingend nötig ist). Für die andere ergeben sich bei gegebenen $\begin{eqnarray*} \varphi,\theta \end{eqnarray*}$ unmittelbar folgende Rechenschritte:

1) Berechne $\begin{eqnarray*} \delta=\arccos\left(\cos(\varphi)\sin(\theta)\right) \in [0,\pi] \end{eqnarray*}$ .
2) Berechne $\begin{eqnarray*} \psi = \operatorname{atan2}\left(\cos(\theta),\sin(\varphi)\sin(\theta)\right)\in (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ .

Funktion atan2 ist dir hoffentlich geläufig? Das ist eine Erweiterung der Tangensfunktion zur Bestimmung des Polarkoordinatenwinkels, die auch in sehr vielen Programmiersprachen direkt zur Verfügung gestellt wird.

08.11.2023, 16:53

unass

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Noch ein Versuch: E geht um eine Koordinatentransformation zwischen einem System S(x,y,z) und einem System S'(x',y'.z'). Hierbei wird im alten System um die y-Achse gedreht, so dass x --> z' und z --> nach -x' geht. Wie sieht die Rotationsmatrix aus, so dass man die Winkel È und ´ in Abhängigkeit von Æ und ¸ bestimmen kann? Æ ist hierbei der Winkel zwischen der Projektion des Vevtors v auf die (x,y)-Ebene und der x-Achse ( Æ ∈ (0,2À)) und ¸ der Winkel zwischen der z-Achse und v (¸ &#8712 traurig

0,À)). Die Winkel È und ´ sind analog zu Æ und ¸.
Meine graphischen Fähigkeiten sind leider beschränkt, so dass ich es bei der obigen Beschreibung lassen muss. Ich hoffe, dass dies weiter hilft.

Uwe

08.11.2023, 16:59

unass

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Sorry, aber da ist etwas schief gelaufen!! Es handelt sich um den Winkel 0 <= theta <=pi und 0 <= phi <= 2*pi und die entsprechenden Winkel delta und psi.

Ich habe mit 'cut und paste' gearbeitet.... Das Ergebnis seht ihr selbst!?

Uwe

09.11.2023, 11:45

HAL 9000

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> Wie sieht die Rotationsmatrix aus

Die Rotationsmatrix hilft beim Übergang zwischen den beiden kartesischen Koordinatensystemen, nicht wirklich aber bei der von dir gewünschten Winkelumrechnung.

Mag sein, dass ich oben einen Ringtausch $\begin{eqnarray*} \left(x,y,z\right) = \left(y',z',x'\right) \end{eqnarray*}$ vorgenommen habe, während du eher sowas wie $\begin{eqnarray*} \left(x,y,z\right) = \left(z',y',-x'\right) \end{eqnarray*}$ wünschst, aber das ändert kaum was am Vorgehen:

$\begin{eqnarray*} x = r\cos(\varphi)\sin(\theta) = r\cos(\delta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = r\sin(\varphi)\sin(\theta) = r\sin(\delta)\sin(\psi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = r\cos(\theta) = -r\sin(\delta)\cos(\psi) \end{eqnarray*}$

mit Ergebnis

1) Berechne $\begin{eqnarray*} \delta=\arccos\left(\cos(\varphi)\sin(\theta)\right) \in [0,\pi] \end{eqnarray*}$ .
2) Berechne $\begin{eqnarray*} \psi = \operatorname{atan2}\left(\sin(\varphi)\sin(\theta),-\cos(\theta),\right)\in (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ .

Wenn du unbedingt $\begin{eqnarray*} \psi\in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ haben willst, dann musst du bei 2) im Fall $\begin{eqnarray*} \psi<0 \end{eqnarray*}$ eben noch einen Vollwinkel $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ hinzuaddieren.

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