Über Funktion Integrieren

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severiney Auf diesen Beitrag antworten »
Über Funktion Integrieren
Ich bin in einem Paper über folgenden Ausruck gestolpert: . Wie geht man mit sowas um, also welche Grenzen setzt man ein wenn man über eine Funktion integriert? Das maximum und minimum des Wertebereichs der Funktion?

Besten Dank
Severin
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Integriert wird über n-dimensionale Bereiche, deren Abmessungen haben mit den Funktionswerten nichts zu tun.
severiney Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktionswerte der Funktion haben keinen Zusammenhang mit den Grenzen? Was will man dann damit ausdrücken, dass man diese Funktion so tiefgestellt neben das Integral schreibt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bereiche, über die integriert wird, stehen immer unter dem Integralzeichen. Die zu integrierende Funktion muss auf dem Integrationsbereich definiert sein, das sagt nichts darüber aus, wo die Funktionswerte liegen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@severiney

Wenn es dir hilft: Im Eindimensionalen ist das dir bekannte zumindest im Fall de facto identisch mit als Spezialfall der Schreibweise mit Integrationsgebiet .
severiney Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hilft schonmal deutlich weiter. Also heisst das, dass ich über alle Werte die die Funktion erreicht integriere? Wenn das ein zusammenhängender Bereich ist also einfach vom kleinsten bis zum grössten Wert?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du denkst offenbar zu stark ans Eindimensionale, wo gilt . Das ist ein unfassbar tolles Ergebnis, aber im höherdimensionalen ist alles etwas komplizierter.

Man bestimmt die Fläche/Volumen unter der Funktion auf dem Bereich . Bei Geogebra gibt es ein schönes Beispiel, wie man das Volumen mit Quadern approximiert.

Hast du ein konkretes Beispiel hierzu?
severiney Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm ja, hab ich. Ich versuchs mal so gut es geht wiederzugeben. Im erwähnten Paper gehts um Spieltheorie. Man nimmt an, dass jede Person zufällige Payoffverschiebungen hat. Die Person wählt genau dann eine aktion (wobei i für die Person und j für die aktion steht) wenn . Wobei . Und der erwartete payoff ist. Jetzt definieren sie als die Menge an Realisationen von , die zum grössten verschobenen Payoff macht, also bei denen wir die aktion tatsächlich auswählen. Wenn man also die Funktion definieren will, die einem für eine beliebige Aktion angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie gespielt wird, dann muss man für jede Realisation der Payoffverschiebungen aller anderen Spieler B_ij ausrechnen und all diese Mengen zusammenrechnen. Das ist dann das vorher beschriebene Integral: . Soweit verstehe ich das ganze einigermassen.

Jetzt kommt ein konkretes Beispiel. Sie legen die Verteilung der Payoffverschiebungen für alle Spieler gleich als fest. Demnach muss sein. ( ist einfach ein Parameter, den können wir ignorieren) Sie schauen sich nun ein Spiel an in dem jeder Spieler nur zwei Aktionsmöglichkeiten hat. Folglich wählt Spieler 1 Aktion 1 genau dann wenn: . Sie sagen dann, dass uns für ein gegebenes die Wahrscheinlichkeit bestimmt, mit der wir wählen (Da versteh ich schon nicht genau wieso das so ist). Wenn wir also statt der bedingten Wahrscheinlichkeit die unbedingte wollen müssen wir rechnen und das für jede mögliche Realisation von :

Das Formen sie dann noch um, aber lassen wir das für den Moment. Für mich machen die beiden einzelnen Schreibweisen aus dem allgemeinen ersten Teil und dem beispiel aus dem zweiten Teil einigermassen Sinn. Was ich aber nicht verstehe, ist wie ich aus der allgemeinen ersten Formel das letzte Integral aus dem konkreten Beispiel bekomme. Also wie ich wen ich eine Fehlerverteilung habe, bestimme und dann das Integral ausrechne.

Hoffe habe dich nicht erschlagen. Danke für die Hilfe!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe es ehrlich gesagt auch nicht ganz, und wenn wie Unfug aussieht, ist es vermutlich auch. Aber hoffentlich hilft dir wie ich es gerade verstehe:
. D.h. wir wollen über alle mit integrieren. Dann ist .

Dann ist .

In dem Sinne kann man das Integral ausrechnen und bekommt das Ergebnis.

Ob das zufällig passt oder das tatsächlich so gedacht ist, kann ich dir nicht sagen.
severiney Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber danke für die Mühe. Das ist zumindest mal ein Ansatz! Ist dann ja allerdings doch immer noch nicht das Beispiel, da da ja noch mit f(epsilon) multipliziert und integriert wird. Ich schaus mir morgen nochmal an…
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